Question

如圖，在正方形紙片ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，折疊正方形紙片ABCD，使AD落在BD上，點(diǎn)A恰好與BD上的F重合．展開(kāi)后，折痕DE分別交AB，AC于點(diǎn)E，G．連接GF．下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（　�。�

• A、∠AGE=67.5°
• B、四邊形AEFG是菱形
• C、BE=2OF
• D、S_△DOG：S_{四邊形OGEF}=

  2

  ：1

Answer 1

考點(diǎn)：翻折變換（折疊問(wèn)題）

專題：計(jì)算題

分析：根據(jù)正方形的性質(zhì)得∠AOB=90°，∠BAO=∠OAD=∠ODA=45°，再根據(jù)折疊的性質(zhì)得∠1=∠2=

1

2

∠ODA=22.5°，EA=EF，∠4=∠5，∠EFD=∠EAD=90°，于是根據(jù)三角形外角性質(zhì)可計(jì)算出∠3=67.5°，即∠AGE=67.5°；根據(jù)三角形內(nèi)角和可計(jì)算出∠4=67.5°，則∠3=∠4=∠5，所以AE=AG=EF，AG∥EF，于是可判斷四邊形AEFG為菱形；根據(jù)菱形性質(zhì)得GF∥AB，EF=GF，利用平行線性質(zhì)得∠6=∠7=45°，則可判斷△BEF和△OGF都是等腰直角三角形，得到BE=

2

EF，GF=

2

OF，所以BE=2OF；設(shè)OF=a，則GF=

2

a，BF=

2

a，可計(jì)算出OB=（

2

+1）a，則OD=（

2

+1）a，DF=DO+OF=（2+

2

）a，再證明△DOG∽△DFE，利用相似三角形的性質(zhì)可計(jì)算出

S△DOG

S△DFE

=（

DO

DF

）²=

1

2

，則S_△DOG：S_{四邊形OGEF}=1：1，即D選項(xiàng)的結(jié)論錯(cuò)誤．

解答：解：∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠AOB=90°，∠BAO=∠OAD=∠ODA=45°，
∵折疊正方形紙片ABCD，使AD落在BD上，點(diǎn)A恰好與BD上的F重合，
∴∠1=∠2=

1

2

∠ODA=22.5°，EA=EF，∠4=∠5，∠EFD=∠EAD=90°，
∴∠3=∠GAD+∠1=45°+22.5°=67.5°，即∠AGE=67.5°；
∵∠4=90°-∠1=67.5°，
∴∠3=∠4=∠5，
∴AE=AG=EF，AG∥EF，
∴四邊形AEFG為菱形；
∴GF∥AB，EF=GF，
∴∠6=∠7=45°，
∴△BEF和△OGF都是等腰直角三角形，
∴BE=

2

EF，GF=

2

OF，
∴BE=

2

•

2

OF=2OF；
設(shè)OF=a，則GF=

2

a，BF=

2

a，
∴OB=（

2

+1）a，
∴OD=（

2

+1）a，DF=DO+OF=（2+

2

）a，
∵∠DOG=∠DFE=90°，
∴△DOG∽△DFE，
∴

S△DOG

S△DFE

=（

DO

DF

）²=[

( 2 +1)a

(2+ 2 )a

]²=

1

2

，
∴S_△DOG：S_{四邊形OGEF}=1：1．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等．也考查了正方形和等腰直角三角形的性質(zhì)．