Question

如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，AB=8，若動點D從B出發(fā)沿線段BA以每秒2個單位長度運動到A點為止，過D作DE∥BC交于點E．設(shè)運動點D的運動時間為x秒，當x為何值時，△BDE的面積S有最大值？最大值為多少？

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì),二次函數(shù)的最值

專題：

分析：作AH⊥BC，則可證

DA

AB

=

DE

BC

=

AG

AH

，即可求得△BDE面積關(guān)于x的函數(shù)式，即可求得△BDE面積的最大值．

解答：解：作AH⊥BC，交DE于點G，

∵DE∥BC，∴

DA

AB

=

DE

BC

=

AG

AH

，
∴運動時間為x秒，DE：BA=（8-2x）：8，
∵AB=8，∠C=30°，
∴AC=8

3

，AH=4

3

，BC=16
∴△BDE面積為

1

2

DE•GH
=

1

2

×

8-2x

8

•BC×

2x

8

•AH
=2

3

x（4-x）=-2

3

（x²-4x）=-2

3

[（x-2）²-4]=-2

3

（x-2）²+8

3

．
∴當x=2時，△BDE的面積S有最大值，為8

3

．

點評：本題考查了相似三角形的判定，考查了相似三角形對應(yīng)邊比例相等的性子，本題中求得DE：BC和GH：AH是解題的關(guān)鍵．