Question

如圖①，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)B在x軸的正半軸上，四邊形OACB是平行四邊形，sin∠AOB=，反比例函數(shù)y=（k＞0）在第一象限內(nèi)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，與BC交于點(diǎn)F．

（1）若OA=10，求反比例函數(shù)解析式；

（2）若點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)，且△AOF的面積S=12，求OA的長(zhǎng)和點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（3）在（2）中的條件下，過(guò)點(diǎn)F作EF∥OB，交OA于點(diǎn)E（如圖②），點(diǎn)P為直線EF上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PA，PO．是否存在這樣的點(diǎn)P，使以P、O、A為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）y=（x＞0）（2）OA=  C（5，）（3）P₁（，），P₂（﹣，），P₃（，），P₄（﹣，）．

【解析】（1）過(guò)點(diǎn)A作AH⊥OB于H，

∵sin∠AOB=，OA=10，

∴AH=8，OH=6，

∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（6，8），根據(jù)題意得：

8=，可得：k=48，

∴反比例函數(shù)解析式：y=（x＞0）；

（2）設(shè)OA=a（a＞0），過(guò)點(diǎn)F作FM⊥x軸于M，

∵sin∠AOB=，

∴AH=a，OH=a，

∴S_△AOH=?aa=a²，

∵S_△AOF=12，

∴S_{平行四邊形AOBC}=24，

∵F為BC的中點(diǎn)，

∴S_△OBF=6，

∵BF=a，∠FBM=∠AOB，

∴FM=a，BM=a，

∴S_△BMF=BM?FM=a?a=a²，

∴S_△FOM=S_△OBF+S_△BMF=6+a²，

∵點(diǎn)A，F(xiàn)都在y=的圖象上，

∴S_△AOH=k，

∴a²=6+a²，

∴a=，

∴OA=，

∴AH=，OH=2，

∵S_{平行四邊形AOBC}=OB?AH=24，

∴OB=AC=3，

∴C（5，）；

（3）存在三種情況：

當(dāng)∠APO=90°時(shí)，在OA的兩側(cè)各有一點(diǎn)P，分別為：P₁（，），P₂（﹣，），

當(dāng)∠PAO=90°時(shí)，P₃（，），

當(dāng)∠POA=90°時(shí)，P₄（﹣，）．