Question

如圖，Rt△ABC中，∠BAC=90°，以AB為直徑作⊙O交BC于點D，OE∥BC交AC于點E，連接AD，交OE于點F，連接DE．
（1）判斷DE與⊙O的位置關(guān)系，并證明；
（2）連接BF，若⊙O的半徑為4，AE=3，求BF的長．

Answer 1

考點：切線的判定,勾股定理,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）連接OD，由AB為⊙O的直徑，得∠BDA=90°，由OE∥BC，可得∠OFA=∠BDA=90°，再由OA=OD得∠AOF=∠DOF，即可證明△ODE≌△OAE，得∠ODE=∠OAE=90°，得OD⊥DE，所以DE為⊙O的切線，即DE與⊙O相切
（2）因為OA=4，AE=3，所以由勾股定理得OE=5，由O點為AB的中點，OE∥BC，所以點E為AC的中點，可得OE為△BAC的中位線，由射影定理得，BD，AD，在Rt△BDF中，由勾股定理得BF即可．

解答：答：（1）DE與⊙O相切．
證明：連接OD，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠BDA=90°，
∵OE∥BC，
∴∠OFA=∠BDA=90°，
∵OA=OD，
∴∠AOF=∠DOF，
又OE=OE，
∴△ODE≌△OAE（SAS），
∴∠ODE=∠OAE=90°，
∴OD⊥DE，
∴DE為⊙O的切線，即DE與⊙O相切，
（2）解：∵OA=4，AE=3，
∴由勾股定理得OE=5，
∵O點為AB的中點，OE∥BC，
∴點E為AC的中點，
∴OE為△BAC的中位線，
∴BA=2OA=8，AC=2AE=6，BC=2OE=10，
由射影定理得，BD=

32

5

，AD=

24

5

∴DF=

1

2

AD=

12

5

，
在Rt△BDF中，由勾股定理得：
BF=

BD2+DF2

=

( 32 5 )2+( 12 5 )2

=

4 73

5

，
則BF的長是

4 73

5

．

點評：本題考查了切線的判定、勾股定理以及相似三角形的判定和性質(zhì)．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．