Question

12．若兩個二次函數(shù)的圖象關(guān)于原點O中心對稱，則稱這個二次函數(shù)為“關(guān)于原點中心對稱二次函數(shù)”．
（1）請直接寫出二次函數(shù)y=2（x-1）²+3“關(guān)于原點中心對稱二次函數(shù)”y′的函數(shù)表達(dá)式；
（2）當(dāng)（1）中的二次函數(shù)y，y′的函數(shù)值同時隨x的增大而減小時，求x的取值范圍；
（3）若關(guān)于x的兩個二次函數(shù)y₁=a_xx²+b₁x+c₁和y₂=a₂x²+b₂x+c₂為“關(guān)于原點中心對稱二次函數(shù)”，已知a₁=1，函數(shù)y₃=y₁+y₂的圖象與函數(shù)y₄=$\frac{1}{2}$（y₁-y₂）的圖象交于點（1，2），試比較y₃，y₄的大小．

Answer 1

分析 （1）把（-x，-y）代入y=2（x-1）²+3，即可得到解析式y(tǒng)′．
（2）畫出圖象即可解決問題．
（3）先求出y₃，y₄的解析式，畫出圖象即可解決問題．

解答 解：（1）二次函數(shù)y=2（x-1）²+3“關(guān)于原點中心對稱二次函數(shù)”y′的函數(shù)表達(dá)式為y′=-2（（x+1）²-3．

（2）如圖由圖象可知，二次函數(shù)y，y′的函數(shù)值同時隨x的增大而減小時，-1≤x≤1．


（3）由題意，a₂=-1，b₁=b₂，c₁=-c₂，
∴y₃=y₁+y₂=2b₁x，y₄=$\frac{1}{2}$（y₁-y₂）=x²+c₁，
∵函數(shù)y₃=y₁+y₂的圖象與函數(shù)y₄=$\frac{1}{2}$（y₁-y₂）的圖象交于點（1，2），
∴b₁=1，c₁=1，
∴y₃=2x，y₄=x²+1，
∴由圖象可知，y₄≥y₃．
．

點評 本題考查二次函數(shù)綜合題、解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會利用函數(shù)圖象解決問題，學(xué)會探究關(guān)于原點中心對稱的二次函數(shù)的解析式的特征，利用探究得到規(guī)律解決問題，屬于中考壓軸題．