Question

4．如圖，已知，MN是AD的垂直平分線，點(diǎn)C在MN上，∠MCA=20°，∠ACB=90°，CA=CB=5，BD交MN于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，連接AE．   
（1）求∠CBE，∠CAE的度數(shù)；
（2）求AE²+BE²的值．

Answer 1

分析 （1）連接CD，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)進(jìn)行解答即可；
（2）根據(jù)勾股定理進(jìn)行解答即可．

解答 解：（1）連接CD，
∵M(jìn)N垂直平分AD，點(diǎn)C，E在MN上，
∴根據(jù)點(diǎn)A，D關(guān)于MN的對(duì)稱性，得 CA=CD，∠MCD=∠MCA，∠CAE=∠CDE，
∵CA=CB，
∴CB=CD，
∴∠CBE=∠CDB，
∴∠CBE=∠CAE，
∵∠MCA=20°，
∴∠MCD=20°，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCD=130°，
∴∠CBE=∠CDB=25°，
∠CAE=∠CDB=∠CBE=25°；
（2）∵∠CFE既是△AEF的外角又是△BCF的外角，
∴∠CFE=∠CAE+∠AEF=∠CBF+∠FCB，
∵∠CAE=∠CBE，
∴∠AEB=∠ACB=90°，
∴AE²+BE²=AB²，
∵∠ACB=90°，CA=CB，AC=5，
∴AB²=AC²+BC²=50，
∴AE²+BE²=AB²=AC²+BC²=50．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是軸對(duì)稱的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．