Question

2．如圖，在△ABC中，∠B=60°，∠BAC、∠ACB的平分線AE、CF相交于點O．求證：
（1）OE=OF；
（2）AF+CE=AC．

Answer 1

分析 （1）在AC上取AF=AM，連接OE，根據三角形的內角和定理，可得出∠BAC+∠BCA=120°，由角平分線的定義可得出∠OAC+∠OCA=60°，再根據外角的性質得出∠AOF的度數；根據SAS證明△AOF≌△AOM，得出OM=OF，再根據ASA證明△COE≌△COM，得出OM=OE，從而得出OF=OE．
（2）由△COE≌△COM，得到CM=CE，又AF=AM，所以得到AC=AM+CM=AF+CE．

解答 解：（1）如圖，在AC上取AF=AM，連接OE，

∵∠B=60°，
∴∠BAC+∠BCA=120°，
∵∠BAC、∠ACB的平分線AE、CF相交于點O，
∴∠BAC=2∠OAC，∠BCA=2∠OCA，
∴∠AOF=∠OBC+∠OCB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=60°；
∵∠BAC、∠ACB的平分線AE、CF相交于點O，
∴∠FAO=∠MAO，∠ECO=∠MCO，
在△FAO和△MAO中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=AM}\\{∠FAO=∠MAO}\\{AO=AO}\end{array}\right.$，
∴△FAO≌△MAO（SAS），
∴OM=OF，∠AOF=∠AOM=60°，
∴∠COE=∠COM=60°，
在△COE和△COM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ECO=∠MCO}\\{OC=OC}\\{∠EOC=∠MOC}\end{array}\right.$，
∴△COE≌△COM（ASA），
∴OM=OE，
∴OE=OF．
（2）∵△COE≌△COM，
∴CM=CE，
∵AF=AM，
∴AC=AM+CM=AF+CE．

點評 本題考查了全等三角形的性質定理與判定定理，解決本題的關鍵是作出輔助線，證明三角形全等．