Question

14．幾何證明．
如圖，已知四邊形ABCD的兩條對角線AC和BD互相垂直且相等，順次連接該四邊形四邊的中點E、F、G、H．試判斷四邊形EFGH的形狀并證明．

Answer 1

分析 四邊形EFGH的形狀是正方形，先由三角形的中位線定理求出四邊相等，然后由AC⊥BD入手，進行正方形的判斷．

解答 解：四邊形EFGH的形狀是正方形，
理由如下：
在△ABC中，F(xiàn)、G分別是AB、BC的中點，
故可得：FG=$\frac{1}{2}$AC，同理EH=$\frac{1}{2}$AC，GH=$\frac{1}{2}$BD，EF=$\frac{1}{2}$BD，
在四邊形ABCD中，AC=BD，
∴EF=FG=GH=HE，
∴四邊形EFGH是菱形．
在△ABD中，E、H分別是AD、CD的中點，
則EH∥AC，
同理GH∥BD，
又∵AC⊥BD，
∴EH⊥HG，
∴四邊形EFGH是正方形．

點評 此題考查了正方形的判定，解題的關(guān)鍵是了解既是矩形又是菱形的四邊形是正方形，難度適中．