Question

18．如圖，D是△ABC的BC邊上的一點，O₁、O₂和O₃分別為△ABC、△ADB和△ADC外接圓的圓心，求證：A、O₂、O₁、O₃四點共圓．

Answer 1

分析 連AO₂、O₂O₁、O₁O₃、O₂O₃，得O₁O₂、O₁O₃、O₂O₃分別垂直平分AB、AC、AD，則由∠O₁+∠O₂AO₃=180°得到結論．

解答 解：連AO₂、O₂O₁、O₁O₃、如圖，
∵O₁、O₂和O₃分別為△ABC、△ADB和△ADC外接圓的圓心，
∴O₁O₂、O₁O₃、O₂O₃分別垂直平分AB、AC、AD，
∴∠O₁+∠O₂AO₃=180°，
∴A、O₂、O₁、O₃四點共圓．

點評 本題考查了四點共圓：將四點連成一個四邊形，若對角互補，那么這四點共圓；連接對角線，若這個四邊形的一邊同側的兩個頂角相等，那么這四點共圓．利用三角形外心的性質(zhì)是解決問題的關鍵．