Question

19．如圖1，已知A（a，1），B（2，b），且a，b滿足（2a-3b-2）²+$\sqrt{a-2b}$=0．
（1）求A，B的坐標(biāo)；
（2）在y軸上是否存在點(diǎn)P，使S_△PAB=1？若存在，直接寫出滿足條件的所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
（3）如圖2，MB∥NO，點(diǎn)N在x軸上，OD平分∠AON，延長AB交OD于C，BC平分∠DBM，且∠D+$\frac{1}{2}$∠A=60°，求∠DBM的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平方以及算術(shù)平方根的非負(fù)性進(jìn)行計(jì)算；
（2）先作直線AB，根據(jù)構(gòu)造三角形BPQ和三角形APQ，根據(jù)△APQ的面積-△BPQ的面積=1，求得點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)∠1=∠2=∠3=∠4+∠6，再根據(jù)外角的性質(zhì)和角平分線的定義得出∠2=∠3=∠D+∠DBM，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得出∠DBM．

解答 解：（1）∵a，b滿足（2a-3b-2）²+$\sqrt{a-2b}$=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2a-3b-2=0}\\{a-2b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=4}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴A（4，1），B（2，2）；

（2）由A（4，1），B（2，2）可得
直線AB的解析式為：y=-$\frac{1}{2}$x+3，
當(dāng)x=0時(shí)，y=3，
∴直線AB與y軸交于Q（0，3），
設(shè)點(diǎn)p的坐標(biāo)為（0，y），則QP=|y-3|，
當(dāng)S_△PAB=1時(shí)，△APQ的面積-△BPQ的面積=1，
即$\frac{1}{2}$×|y-3|×4-$\frac{1}{2}$×|y-3|×2=1，
解得y=4或2，
所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，4），（0，2）；

（3）∵OD平分∠AON，
∴∠1=∠2，
∵AN∥BM，
∴∠1=∠2=∠3=∠4+∠6，
又∵BC平分∠DBM，∠6=∠D+∠5，
∴∠4=∠5=$\frac{1}{2}$∠DBM，∠6=∠D+$\frac{1}{2}$∠DBM，
∴∠2=∠3=$\frac{1}{2}$∠DBM+（∠D+$\frac{1}{2}$∠DBM）=∠D+∠DBM，
在△AOC中，∠2+∠6+∠A=180°，
即（∠D+∠DBM）+（∠D+$\frac{1}{2}$∠DBM）+∠A=（2∠D+∠A）+$\frac{3}{2}$∠DBM=180°，
∵∠D+$\frac{1}{2}$∠A=60°，
∴2∠D+∠A=120°，
∴∠DBM=$\frac{2}{3}$（180°-120°）=40°．

點(diǎn)評 本題主要考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造三角形，根據(jù)三角形面積的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，解題時(shí)注意分類思想的運(yùn)用．