Question

9．如圖，己知拋物線y=k（x+1）（x-3k）（且k＞0）與x軸分別交于A、B兩點(diǎn)，A點(diǎn)在B點(diǎn)左邊，與Y軸交于C點(diǎn)，連接BC，過A點(diǎn)作AE∥CB交拋物線于E點(diǎn)，0為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）用k表示點(diǎn)C的坐標(biāo)（0，-3k²）；
（2）若k=1，連接BE，
①求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；
②在x軸上找點(diǎn)P，使以P、B、C為頂點(diǎn)的三角形與△ABE相似，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）若在直線AE上存在唯一的一點(diǎn)Q，連接OQ、BQ，使OQ⊥BQ，求k的值．

Answer 1

分析 （1）只需把x=0代入拋物線的解析式，就可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）①只需先求出直線AE的解析式，再求出直線AE與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)，就可解決問題；②由AE∥BC可得∠EAB=∠ABC，然后分△PBC∽△BAE和△PBC∽△EAB兩種情況進(jìn)行討論，運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)即可解決問題；
（3）由OQ⊥BQ可知點(diǎn)Q在以O(shè)B為直徑的圓上，由于直線AE上存在唯一的一點(diǎn)Q，使得OQ⊥BQ，因此以O(shè)B為直徑的圓與直線AE相切，切點(diǎn)為Q，圓心記為O′，連接O′Q，如圖2，易證△AQO′∽△BOC，然后只需用k的代數(shù)式表示OC、QO′、AO′、BC，再運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)就可求出k的值．

解答 解：（1）當(dāng)x=0時(shí)，y=k（0+1）（0-3k）=-3k²，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-3k²）．
故答案為：-3k²；

（2）①∵k=1，
∴拋物線的解析式為y=（x+1）（x-3）．
當(dāng)x=0時(shí)，y=-3，則點(diǎn)C（0，-3），OC=3；
當(dāng)y=0時(shí)，x₁=-1，x₂=3，
則點(diǎn)A（-1，0），點(diǎn)B（3，0），OA=1，OB=3．
∵AE∥CB，∴△AOD∽△BOC，
∴$\frac{OD}{OC}$=$\frac{OA}{OB}$，
∴OD=1，即D（0，1）．
設(shè)直線AE的解析式為y=kx+b，
則$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=0}\\{b=1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴直線AE的解析式為y=x+1，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{y=（x+1）（x-3）}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=5}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（4，5）；
②過點(diǎn)E作EH⊥x軸于H，如圖1，
則OH=4，BH=5，AH=5，AE=$\sqrt{{5}^{2}+{5}^{2}}$=5$\sqrt{2}$．
∵AE∥BC，∴∠EAB=∠ABC．
Ⅰ．若△PBC∽△BAE，則$\frac{BP}{AB}$=$\frac{BC}{AE}$．
∵AB=4，BC=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，AE=5$\sqrt{2}$，
∴$\frac{BP}{4}$=$\frac{3\sqrt{2}}{5\sqrt{2}}$，
∴BP=$\frac{12}{5}$，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3-$\frac{12}{5}$，0）即（$\frac{3}{5}$，0）；
Ⅱ．若△PBC∽△EAB，則$\frac{BP}{AE}$=$\frac{BC}{AB}$，
∴$\frac{BP}{5\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，
∴BP=$\frac{15}{2}$，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3-$\frac{15}{2}$，0）即（-$\frac{9}{2}$，0）；
綜上所述：滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{3}{5}$，0）或（-$\frac{9}{2}$，0）；

（3）∵直線AE上存在唯一的一點(diǎn)Q，使得OQ⊥BQ，
∴以O(shè)B為直徑的圓與直線AE相切于點(diǎn)Q，圓心記為O′，連接O′Q，如圖2，
則有O′Q⊥AE，O′Q=OO′=$\frac{1}{2}$OB．
當(dāng)x=0時(shí)，y=k（0+1）（0-3k）=-3k²，則點(diǎn)C（0，-3k²），
當(dāng)y=0時(shí)，k（x+1）（x-3k）=0，解得x₁=-1，x₂=3k，
則點(diǎn)A（-1，0），B（3k，0），
∴OB=3k，OA=1，OC=3k²，
∴O′Q=OO′=$\frac{3k}{2}$，O′A=$\frac{3k}{2}$+1，BC=$\sqrt{（3{k}^{2}）^{2}+（3k）^{2}}$=3k•$\sqrt{{k}^{2}+1}$．
∵∠QAO′=∠OBC，∠AQO′=∠BOC=90°，
∴△AQO′∽△BOC，
∴$\frac{QO′}{OC}$=$\frac{AO′}{BC}$，
∴QO′•BC=AO′•OC，
∴$\frac{3k}{2}$•3k•$\sqrt{{k}^{2}+1}$=（$\frac{3k}{2}$+1）•3k²，
解得：k=$\frac{5}{12}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理、拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、運(yùn)用待定系數(shù)法求直線的解析式、求直線與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)、勾股定理等知識(shí)，解決第3小題的關(guān)鍵是把條件轉(zhuǎn)化為以O(shè)B為直徑的圓與直線AE相切．