Question

如圖，矩形ABOC的邊OB，OC分別在坐標軸上，將矩形ABOC繞原點O順時針旋轉90°后，得到的矩形為DEOF．已知點A的坐標為（-2，m），反比例函數的圖象（第一象限）經過線段DF的中點M，且滿足m+n=6．
（1）求m，n的值；
（2）求直線CM的函數解析式；
（3）設直線CM交DE于點N，請判斷點N是否在反比例函數的圖象上（寫出理由）．

Answer 1

解：（1）∵將矩形ABOC繞原點O順時針旋轉90°后，得到的矩形為DEOF，點A的坐標為（-2，m），
∴AC=BO=OE=DF=2，CO=OF=m，
∵反比例函數的圖象（第一象限）經過線段DF的中點M，
∴M點的縱坐標為1，橫坐標為：m，
∵M在反比例函數的圖象上，
∴xy=n=m，
∵m+n=6，
∴m=3，n=3；

（2）∵m=3，
∴C點坐標為：（0，3），M點坐標為：（3，1），
假設直線CM的函數解析式為：y=kx+b，
將C，M代入解析式得：
，
解得：，
故直線CM的函數解析式為：；

（3）∵DE是平行于x軸的直線，且過（0，2）點，故直線DE可以表示為：y=2，
∴直線CM與直線DE交點N的坐標求法應該是將兩直線解析式聯立，求出公共解集，
故，
解得：，
故N點的坐標為：（，2），
∵×2=3，
∴點N在y=上．
分析：（1）由點A的坐標為（-2，m），得出矩形中AC=BO=OE=DF=2，再由反比例函數的圖象（第一象限）經過線段DF的中點M，得出M點的縱坐標為1，利用反比例函數的性質得出m，n的關系，進而求出m，n．
（2）根據m，n的值即可求出C，M點的坐標，進而利用待定系數法求出直線解析式即可；
（3）利用兩直線交點求法得出N點坐標，再代入反比例函數解析式即可得出點N是否在圖象上．
點評：此題主要考查了反比例函數與一次函數的綜合應用，根據M點的坐標以及反比例函數的性質xy=n，求出m=n是解決問題的關鍵．