Question

已知，在⊙O中，設(shè)BC所對(duì)的圓周角為∠BAC．
求證：∠BAC=

1

2

∠BOC
證明：圓心O可能在∠BAC的一邊上，內(nèi)部和外部（如圖①、②和③）．
如圖①，當(dāng)圓心O在∠BAC的一邊上時(shí)．
∵OA=OC，∴∠A=∠ACO，∵∠BOC=∠A+∠ACO，
∵∠BOC=2∠A，即∠BAC=

1

2

∠BOC
請(qǐng)你完成其余的證明．

Answer 1

考點(diǎn)：圓周角定理

專題：

分析：（1）延長(zhǎng)BO交⊙O于點(diǎn)D，連接CD，根據(jù)同弧或等弧所對(duì)的圓周角都相等可得∠A=∠D，再根據(jù)等腰三角形的兩底角相等，∠D=∠OCD，然后利用三角形的外角性質(zhì)∠BOC=∠D+∠OCD，整理即可得證；
（2）延長(zhǎng)BO交⊙O于點(diǎn)E，連接CE，根據(jù)同弧或等弧所對(duì)的圓周角都相等可得∠A=∠E，再根據(jù)等腰三角形的兩底角相等，∠E=∠OCE，然后利用三角形的外角性質(zhì)∠BOC=∠E+∠OCE，整理即可得證．

解答： 證明：（1）如圖（1），延長(zhǎng)BO交⊙O于點(diǎn)D，連接CD，則
∠D=∠A（同弧或等弧所對(duì)的圓周角都相等），
∵OC=OD，
∴∠D=∠OCD，
∵∠BOC=∠D+∠OCD（三角形的一個(gè)外角等于與它不相等的兩個(gè)內(nèi)角的和），
∴∠BOC=2∠A，
即∠BAC=

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2

∠BOC；
（2）如圖（2），延長(zhǎng)BO交⊙O于點(diǎn)E，連接CE，則
∠E=∠A（同弧或等弧所對(duì)的圓周角都相等），
∵OC=OE，
∴∠E=∠OCE，
∵∠BOC=∠E+∠OCE（三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和），
∴∠BOC=2∠A，
即∠BAC=

1

2

∠BOC．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓周角定理的證明，是基礎(chǔ)題，作出輔助線找出與∠BAC相等的角，進(jìn)行等量代換是解題的關(guān)鍵，方法與定理都需要熟練掌握并靈活運(yùn)用．