Question

新淳來公司生產的一種手機電池的銷售單價為60元，為降低成本，提高銷售量，公司決定拿出80萬元資金進行產品的升級研發(fā)與產品的電視廣告宣傳．經調查得知：該產品的成本單價y（元）與研發(fā)資金x（萬元）之間滿足圖①的一次函數(shù)關系，產品的年銷售量z（萬件）與投入電視廣告宣傳資金x（萬元）之間滿足圖②的一次函數(shù)關系．其中研發(fā)資金已計入成本，而電視廣告宣傳資金沒計入成本．
（1）分別求出y，z關于x的一次函數(shù)解析式；
（2）在拿出80萬元資金進行產品的升級研發(fā)與產品的電視廣告宣傳之前，該公司年利潤為

200

萬元．
（3）該公司將80萬元資金如何分配，才能使年銷售利潤達到最大？最大利潤是多少？（年銷售利潤=年銷售額-成本-電視廣告宣傳資金）（結果精確到1萬元）

Answer 1

分析：（1）利用待定系數(shù)法將圖形上點的坐標代入求出一次函數(shù)解析式即可；
（2）根據(jù)未開發(fā)前，x=0，y=50，z=20，得出年利潤=（售價-成本）×銷量，得出即可；
（3）根據(jù)設研發(fā)資金為a萬元，則廣告宣傳費用為（80-a）萬元，再利用（1）中關系式求出W與a的關系式，求出最值即可．

解答：解：（1）如圖，設y=k₁x+50，
將x=60，y=30代入得k₁=-

1

3

，
故y=-

1

3

x+50，
設z=k₂x+20，將x=40，y=30代入得k₂=

1

4

，
故z=

1

4

x+20；

（2）未開發(fā)前，x=0，y=50，z=20，
年利潤=（60-50）×20=200（萬）．
故答案為：200；

（3）設研發(fā)資金為a萬元，則廣告宣傳費用為（80-a）萬元，
故y=-

1

3

a+50z=

1

4

(80-a)+20=40-0.25a，
年銷售利潤w=（60-y）z-（80-a）=(10+

1

3

a)(40-

1

4

a)-80+a=-

1

12

(a-71)2+

8881

12

，
當a=71萬元，即研發(fā)資金為71萬元，電視廣告宣傳費9萬元時，年利潤達到最大，最大約為740萬元．

點評：此題主要考查了二次函數(shù)的應用以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式和二次函數(shù)的最值問題，根據(jù)已知得出關于年利潤的二次函數(shù)關系式是解題關鍵．