Question

已知平行四邊形ABCD中，對角線AC和BD相交于點O，AC=10，BD=8．
（1）若AC⊥BD，試求四邊形ABCD的面積；
（2）若AC與BD的夾角∠AOD=60°，求四邊形ABCD的面積．

Answer 1

分析：（1）首先證得四邊形ABCD是菱形，根據(jù)菱形的面積公式即可求解；
（2）過點A分別作AE⊥BD，垂足為E，根據(jù)三角函數(shù)即可求得AE的長，從而求得△OAD的面積，四邊形ABCD的面積是三角形OAD的面積的4倍，據(jù)此即可求解．

解答：解：（1）∵AC⊥BD，
∴四邊形ABCD為菱形，（2分）
∴S_菱形ABCD=

1

2

AC×BD=40；（4分）

（2）過點A分別作AE⊥BD，垂足為E，
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AO=CO=

1

2

AC=5，BO=DO=

1

2

BD=4，（5分）
在Rt△AOE中，sin∠AOE=

AE

AO

，
∴AE=AO•sin∠AOE=AO×sin60°=

5 3

2

，（7分）
∴S_ABCD=

1

2

OD•AE×4=

1

2

×4×

5 3

2

×4=20

3

．（9分）

點評：本題主要考查了平行四邊形性質(zhì)，正確理解四邊形ABCD的面積是△OAD的面積的4倍是解題的關(guān)鍵．