Question

如圖，已知AB、CD是⊙O的兩條平行切線，A、D為切點，∠BOC=90°．求證：BC是⊙O的切線．

Answer 1

考點：切線的判定與性質

專題：證明題

分析：如圖，作輔助線，運用勾股定理首先證明xy=r²，然后運用三角形的面積公式證明OE=r，問題即可解決．

解答：解：如圖，連接AD，過點C作CF⊥AB于點F；
過點O作OE⊥BC于點E；
∵AB、CD是⊙O的兩條平行切線，
∴AD為⊙O的直徑，
∴OA⊥AB，OD⊥DC；四邊形ADCF為矩形；
設⊙O的半徑為r，AB=x，DC=y，BC=m；
則AF=DC=y，CF=AD=2r，BF=x-y；
由勾股定理得：
BC²=CF²+BF²，
即m²=（2r）²+（x-y）²①；
BC²=OB²+OC²，
即m²=x²+r²+y²+r²②，
由①、②知：
4r²+x²+y²-2xy=x²+y²+2r²，
∴xy=r²；
∵S△BOC=

1

2

BC•OE=

1

2

OB•OC，
∴

x2+y2+2r2

•OE=

x2+r2

•

y2+r2

，
∴OE=

x2+r2 • y2+r2

x2+y2+2r2

=

x2y2+x2r2+y2r2+r4 x2+y2+2r2

，
∵xy=r²，
∴OE=

r2(x2+y2+2r2) x2+y2+2r2

=r，
即圓心O到BC的距離等于⊙O的半徑，
∴BC是⊙O的切線．

點評：該命題以圓為載體，以切線的判定為線索，以考查切線的性質、勾股定理的應用為核心構造而成；對綜合的分析問題解決問題的能力提出了較高的要求．