Question

17．如圖，邊長(zhǎng)為4cm的正方形ABCD，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，E是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)（與A．B不重合），過點(diǎn)O作OF⊥OE交BC邊于F．
（1）在運(yùn)動(dòng)過程中四邊形OEBF的面積是否變化？并說明理由．
（2）設(shè)AE=x，△BEF的面積為S，求出S與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）x為何值時(shí)，△EBF面積最大，最大值為多少？

Answer 1

分析 （1）作OH⊥BC，OG⊥AB分別于點(diǎn)H、G，然后證明△OEG≌△OFH，即可證得S_{四邊形OEBF}=S_{正方形OGBH}；
（2）AG=BG=BH=CH=2，則當(dāng)AE=x時(shí)EG=FH=2-x，然后利用三角形的面積公式即可求解；
（3）利用配方法即可求解．

解答 解：（1）四邊形OEBF的面積不變化．
理由是：作OH⊥BC，OG⊥AB分別于點(diǎn)H、G．
則OH=OG=2（cm），四邊形OGBH是正方形．S_{正方形OGBH}=4．
∵∠EOF=∠GOH=90°，
∴∠EOG+∠GOF=∠HOF+∠GOF=90°，
∴∠EOG=∠HOF，
在△OEG和△OFH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EOG=∠HOF}\\{OG=OH}\\{∠OGE=∠OHF}\end{array}\right.$，
∴△OEG≌△OFH，
∴S_{四邊形OEBF}=S_{正方形OGBH}=4；
（2）∵AG=BG=BH=CH=2，
AE=x，則EG=FH=2-x，
則BE=BG+EG=2+（2-x）=4-x，BF=BH-FH=2-（2-x）=x．
則S=$\frac{1}{2}$BE•BF=$\frac{1}{2}$（4-x）x，即S=-$\frac{1}{2}$x²+2x；
（3）S=-$\frac{1}{2}$x²+2x=-$\frac{1}{2}$（x²-4x+4）+2=-$\frac{1}{2}$（x-2）²+2．
當(dāng)x=2時(shí)，S有最大值是2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圖形的旋轉(zhuǎn)，以及二次函數(shù)的性質(zhì)，正確作出輔助線，理解旋轉(zhuǎn)過程存在的相等的角和線段是關(guān)鍵．