Question

9．設(shè)S=$\sqrt{1+\frac{1}{{1}^{2}}+\frac{1}{{2}^{2}}}$+$\sqrt{1+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{3}^{2}}}$+$\sqrt{1+\frac{1}{{3}^{2}}+\frac{1}{{4}^{2}}}$+…+$\sqrt{1+\frac{1}{199{7}^{2}}+\frac{1}{199{8}^{2}}}$，則與S最接近的數(shù)是（　　）

• A． 1997
• B． 1998
• C． 1999
• D． 2000

Answer 1

分析 由等式的左邊可以看出，被開方數(shù)都是1加連續(xù)兩個自然數(shù)平方倒數(shù)和的形式；中間的算式都是1加第一個自然數(shù)的倒數(shù)，再減去第二個自然數(shù)的倒數(shù)；右邊的結(jié)果為1加兩個自然數(shù)乘積的倒數(shù)．

解答 解：∵n為任意正整數(shù)，
∴$\sqrt{1+\frac{1}{{n}^{2}}+\frac{1}{（n+1）^{2}}}$=$\sqrt{\frac{{n}^{2}（n+1）^{2}+{n}^{2}+（n+1）^{2}}{[n（n+1）]^{2}}}$=$\sqrt{\frac{[n（n+1）]^{2}+2n（n+1）+1}{[n（n+1）]^{2}}}$=$\frac{{n}^{2}+n+1}{n（n+1）}$=$1+\frac{1}{n（n+1）}$
∴S=（$1+\frac{1}{1×2}$）+（1+$\frac{1}{2×3}$）+（1+$\frac{1}{3×4}$）+…+（1+$\frac{1}{1997×1998}$）
=1997+（$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{1997×1998}$）
=1997+[（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）+…+（$\frac{1}{1997}$-$\frac{1}{1998}$）]
=1998-$\frac{1}{1998}$，
因此與s最接近的整數(shù)是1998，
故選B．

點(diǎn)評 此題是數(shù)字規(guī)律題，主要考查了二次根式的加減法，解答此類題目要探尋數(shù)列規(guī)律：認(rèn)真觀察、仔細(xì)思考，善用聯(lián)想是解決這類問題的方法．