Question

15．如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，矩形OABC中，A（10，0），C（0，4），D為OA的中點，P為BC邊上一點．若△POD為等腰三角形，則所有滿足條件的點P的坐標為（2.5，4），或（3，4），或（2，4），或（8，4）．

Answer 1

分析 由矩形的性質(zhì)得出∠OCB=90°，OC=4，BC=OA=10，求出OD=AD=5，分情況討論：①當PO=PD時；②當OP=OD時；③當DP=DO時；根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)或勾股定理即可求出點P的坐標．

解答 解：∵四邊形OABC是矩形，
∴∠OCB=90°，OC=4，BC=OA=10，
∵D為OA的中點，
∴OD=AD=5，
①當PO=PD時，點P在OD得垂直平分線上，
∴點P的坐標為：（2.5，4）；
②當OP=OD時，如圖1所示：
則OP=OD=5，PC=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3，
∴點P的坐標為：（3，4）；
③當DP=DO時，作PE⊥OA于E，
則∠PED=90°，DE=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3；
分兩種情況：當E在D的左側(cè)時，如圖2所示：
OE=5-3=2，
∴點P的坐標為：（2，4）；
當E在D的右側(cè)時，如圖3所示：
OE=5+3=8，
∴點P的坐標為：（8，4）；
綜上所述：點P的坐標為：（2.5，4），或（3，4），或（2，4），或（8，4）；
故答案為：（2.5，4），或（3，4），或（2，4），或（8，4）．

點評 本題考查了矩形的性質(zhì)、坐標與圖形性質(zhì)、等腰三角形的判定、勾股定理；本題有一定難度，需要進行分類討論才能得出結(jié)果．