Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，AB＝6，點E在對角線BD上，DE＝2，連接CE，過點E作EF⊥CE，交線段AB于點F

（1）求證：CE＝EF；

（2）求FB的長；

（3）連接FC交BD于點G．求BG的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）2；（3）

【解析】

（1）過E作EM⊥AB于M，EH⊥BC于H，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠EBM＝∠HBE＝45°，求得EM＝EH，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

（2）根據(jù)勾股定理得到BD＝6，得到AM＝CH＝2，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到FM＝CH＝2，于是得到結(jié)論；

（3）過G作GN⊥BC于N，設(shè)GN＝BN＝x，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解：（1）過E作EM⊥AB于M，EH⊥BC于H，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠EBM＝∠HBE＝45°，

∴EM＝EH，

∵∠EMB＝∠MBH＝∠BHE＝90°，

∴∠MEH＝90°，

∵EF⊥CE，

∴∠MEF＝90°，

∴∠MEF＝∠CEH，

∴△EMF≌△EHC（ASA），

∴CE＝EF；

（2）∵AB＝6，

∴BD＝6，

∵DE＝2，

∴BE＝BD﹣DE＝4，

∴BM＝BH＝4，

∴AM＝CH＝2，

∵△EMF≌△EHC，

∴FM＝CH＝2，

∴BF＝AB﹣AM﹣MF＝6﹣2﹣2＝2；

（3）過G作GN⊥BC于N，

∴GN＝BN，

設(shè)GN＝BN＝x，

∴CN＝6﹣x，

∵GN⊥BC，AB⊥BC，

∴GN∥BF，

∴△CGN∽△CFB，

∴，

∴,

∴x＝，

∴BN＝GN＝，

∴BG＝BN＝．