Question

如圖，在等邊△ABC中，點D是BC邊的中點，以AD為邊在AD的右側(cè)作等邊△ADE，取AB邊的中點F，連接CF、CE，CF分別于AD、DE交于點P、Q．有以下結(jié)論：①∠CAE=30°；②AC垂直平分DE；③四邊形AFCE是矩形；④點P、Q是線段CF的三等分點．其中正確的結(jié)論是

 

．（在橫線上寫出正確結(jié)論的序號）

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),線段垂直平分線的性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì),矩形的判定

專題：常規(guī)題型

分析：根據(jù)等邊三角形三線合一的特點，易求得∠DAC=30°，則∠CAE=∠DAE-∠DAC=30°；接著利用等邊三角形的性質(zhì)判斷AC垂直平分DE；根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得CF⊥AB，而∠FAE=90°，得到AE∥CF，由于CF=AD=AE，判斷四邊形AECF是平行四邊形，根據(jù)∠CFA=∠FAE=90°可判定四邊形AFCE是矩形；根據(jù)重心的性質(zhì)得PE=2PF，再證明QD=QP，QD=QC，于是得到CQ=QP=PF．

解答：解：∵△ABC是等邊三角形，且D是BC中點，
∴DA平分∠BAC，即∠DAB=∠DAC=

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∠BAC=30°；
∵△DAE是等邊三角形，
∴∠DAE=60°，AD=AE，
∴∠CAE=∠DAE-∠CAD=30°，所以①正確；
∴AC平分∠DAE，
∴AC垂直平分DE，所以②正確；
∵等邊△ABC的AB邊的中點為F，
∴CF⊥AB，
∴∠CFA=90°，
而∠FAE=∠FAC+∠CAE=60°+30°=90°，
∴AE∥CF，
∵AD和CF都是等邊△ABC的高，
∴AD=CF，
∴CF=AE，
∴四邊形AFCE是矩形，所以③正確；
∵點P為中線AD與CF的交點，
∴CP=2PF，
∵∠FAP=30°，
∴∠APF=∠DPQ=60°，
∵∠ADQ=60°，
∴QP=QD，
∵∠DCQ=30°，∠CDQ=90°-∠ADE=30°，
∴QD=QC，
∴CQ=QP=PF，即點P、Q是線段CF的三等分點，所以④正確．
故答案為①②③④．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的對應(yīng)邊相等．也考查了等邊三角形的性質(zhì)和矩形的判定方法．