Question

14．一般地，在Rt△ABC中，∠C=90°，我們把銳角A的對邊與斜邊的比叫做∠A的正弦，記作“sinA”，即$sinA=\frac{∠A的對邊}{斜邊}$．類似的，我們定義：在等腰三角形中，底邊與腰的比叫做頂角的正對．如圖1，在△ABC中，AB=AC，頂角A的正對記作sadA，即sadA=$\frac{底邊}{腰}=\frac{BC}{AB}$．根據(jù)上述角的正對定義，完成下列問題：
（1）sad60°=1；
（2）已知：如圖2，在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=$\frac{3}{5}$，試求sadA的值；
（3）已知：如圖3，在平面直角坐標系xOy中，A（0，2），B（$4\sqrt{2}$，0），點C為線段AB上一點（不與點B重合），且$AC≥\frac{1}{2}AB$，以AC為底邊作等腰△ACP，點P落在直線AB上方，
①當sad∠APC=$\frac{2}{3}$時，請你判斷PC與x軸的位置關系，并說明理由；
②當 sad∠APC=$\frac{{4\sqrt{2}}}{3}$時，請直接寫出點P的橫坐標x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意可知，sad60°為頂角為60°的等腰三角形的正對，從而可以求得sad60°的值；
（2）根據(jù)Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=$\frac{3}{5}$，構造以∠A為頂角的等腰三角形，然后根據(jù)題意可以解答本題．
（3）①結論：PC⊥x軸，只要證明∠OAB=∠PCE即可．
②如圖4中，分別求出當點C是AB中點時，點P橫坐標；當點C′與B重合時，點P′的橫坐標，即可解決問題．

解答 （1）∵頂角為60°的等腰三角形是等邊三角形，
∴sad60°=$\frac{底邊}{腰}$=$\frac{1}{1}$=1．
故答案為：1．

（2）如圖2中，設AB=5a，BC=3a，則AC=4a，在AB上截取AD=AC=4a，作DE⊥AC于點E，
∵Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=$\frac{3}{5}$，
∴DE=AD•sinA=4a×$\frac{3}{5}$=$\frac{12}{5}$a，AE=AD•cosA=4a×$\frac{4}{5}$=$\frac{16}{5}$a．
∴CE=AC-AE=4a-$\frac{16}{5}$a=$\frac{4}{5}$a．
∴CD=$\sqrt{C{E}^{2}+E{D}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{4}{5}a）^{2}+（\frac{12}{5}a）^{2}}$=$\frac{4\sqrt{10}}{5}$a，．
∴sadA=$\frac{CD}{AC}$=$\frac{\frac{4\sqrt{10}}{5}a}{4a}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
即sadA=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

（3）①結論：PC⊥x軸，
理由：如圖3中，作PE⊥AC于E．
∵PA=PC，
∴AE=EC，
∵sadAPC=$\frac{AC}{PC}$=$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{2EC}{PC}$=$\frac{2}{3}$，
∴cos∠PCE=$\frac{EC}{PC}$=$\frac{1}{3}$．
在Rt△AOB中，∵∠AOB=90°，OA=2，OB=4$\sqrt{2}$，
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}（4\sqrt{2}）^{2}}$=6，
∴cos∠OAB=$\frac{OA}{AB}$=$\frac{2}{6}$=$\frac{1}{3}$，
∴cos∠PCE=cos∠OAB，
∴∠OAB=∠PCE，
∴PC∥y軸，
∴PC⊥x軸．

②如圖4中，當點C是AB中點時，作PE⊥AB于E，交x軸于M．作PN⊥x軸于N．
∵sad∠APC=$\frac{AC}{PC}$=$\frac{2EC}{PC}$=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，
∴$\frac{1.5}{PC}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴PC=$\frac{9\sqrt{2}}{8}$，PE=$\sqrt{P{C}^{2}-E{C}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{8}$，
∵∠EBM=∠ABO，∠MEB=∠AOB=90°，
∴△BEM∽△BOA，
∴$\frac{EB}{BO}$=$\frac{EM}{AO}$=$\frac{BM}{AB}$，∠EMB=∠OAB，
∴EM=$\frac{7\sqrt{2}}{8}$，BM=$\frac{21\sqrt{2}}{8}$，
∴PM=PE+EM=$\frac{5\sqrt{2}}{4}$，OM=OB-MB=$\frac{11\sqrt{2}}{8}$，
∵∠PNM=∠AOB，∠PMN=∠OAB，
∴△PNM∽△BOA，
∴$\frac{PM}{AB}$=$\frac{MN}{AO}$，
∴MN=$\frac{5\sqrt{2}}{12}$，
∴ON=$\frac{43\sqrt{2}}{24}$，
∴點P的橫坐標為$\frac{43\sqrt{2}}{24}$，
當點C′與B重合時，作P′K⊥OB，PG⊥AB于G交OB于H．
∵sad∠AP′B=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$=$\frac{AB}{P′B}$=$\frac{2GB}{P′B}$，
∴P′B=$\frac{9\sqrt{2}}{4}$，P′G=$\sqrt{P′{B}^{2}-G{B}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，
由△BGH∽△BOA得到，$\frac{GH}{AO}$=$\frac{GB}{BO}$=$\frac{BH}{AB}$，
∴GH=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，BH=$\frac{9\sqrt{2}}{4}$，OH=$\frac{7\sqrt{2}}{4}$，
∴P′H=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
由△P′KH∽△BOA得到，$\frac{HK}{AO}$=$\frac{P′H}{AB}$，
∴HK=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴OK=$\frac{9\sqrt{2}}{4}$，
∴點P′的橫坐標為$\frac{9\sqrt{2}}{4}$．
∴當 sad∠APC=$\frac{{4\sqrt{2}}}{3}$時，點P的橫坐標x的取值范圍為$\frac{43\sqrt{2}}{24}$≤x＜$\frac{9\sqrt{2}}{4}$．

點評 本題考查解直角三角形，等腰三角形的性質、勾股定理、相似三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是能理解新定義，學會添加常用輔助線，構造直角三角形，學會考慮特殊位置解決問題，屬于中考壓軸題．