Question

如圖所示，平面直角坐標系中，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過A（0，4）、B（-2，0）、C（6，0），過點A作AD∥x軸交拋物線于點D，過點D作DE⊥x軸，垂足為點E，點M是四邊形OADE的對角線的交點，點F在y軸負半軸上，且F（0，-2）。
（1）求拋物線的解析式，并直接寫出四邊形OADE的形狀；
（2）當點P、Q從C、F兩點同時出發(fā)，均以每秒1個長度單位的速度沿CB、FA方向運動，點P運動到O時P、Q兩點同時停止運，設運動的時間為t秒，在運動過程中，以P、Q、O、M四點為頂點的四邊形的面積為S，求出S與t之間的函數(shù)關系式，并寫出自變量的取值范圍；
（3）在拋物線上是否存在點N，使以B、C、F、N為頂點的四邊形是梯形？若存在，直接寫出點N的坐標；不存在，說明理由。

Answer 1

解：（1）∵拋物線經(jīng)過A（0，4）、B（-2，0）、C（6，0） ∴得到， 解得a=-，b=，c=4 ∴拋物線的解析式為y=-x2+x+4 （或y=-（x+2）（x-6）或y=-（x-2）2+） 四邊形OADE為正方形；
（2）根據(jù)題意可知OE=OA=4，OC=6，OB=OF=2， ∴CE=2、 ∴CO=FA=6 ∵運動的時間為t ∴CP=FQ=t 過M作MN⊥OE于N，則MN=2 當0≤t＜2時，OP=6-t，OQ=2-t  ∴S=+=（6-t）×2+（6-t）（2- t）=（6-t）（4- t） ∴S=t2-5t+12， 當t=2時，Q與O重合，點M、O、P、Q不能構成四邊形，（不寫也可） 當2＜t＜6時，連接MO，ME則MO=ME且∠QOM=∠PEM=45° ∵FQ=CP=t，F(xiàn)O=CE=2 ∴OQ=EP ∴△QOM≌△PEM ∴四邊形OPMQ的面積S==×4×2=4 綜上所述，當0≤t＜2時，S=t2-5t+12； 當2＜t＜6時，S=4；
（3）存在N1（1，5），N2（5，），N3（2+，-2），N4（2-，-2）。