Question

7．如圖，△ABC是等邊三角形，AQ=PQ，PR⊥AB于點R，PS⊥AC于點S，PR=PS，則下列結(jié)論：①點P在∠A的角平分線上； ②AS=AR； ③QP∥AR； ④△BRP≌△QSP．正確的有（　�。�

• A． 1個
• B． 2個
• C． 3個
• D． 4個

Answer 1

分析 根據(jù)到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上可得AP平分∠BAC，從而判斷出①正確，然后根據(jù)等邊對等角的性質(zhì)可得∠APQ=∠PAQ，然后得到∠APQ=∠PAR，然后根據(jù)內(nèi)錯角相等兩直線平行可得QP∥AB，從而判斷出②正確，然后證明出△APR與△APS全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等即可得到③正確，④由△BPR≌△CPS，△BRP≌△QSP，即可得到④正確．

解答 解：∵△ABC是等邊三角形，PR⊥AB，PS⊥AC，且PR=PS，
∴P在∠A的平分線上，故①正確；
由①可知，PB=PC，∠B=∠C，PS=PR，
∴△BPR≌△CPS，
∴AS=AR，故②正確；
∵AQ=PQ，
∴∠PQC=2∠PAC=60°=∠BAC，
∴PQ∥AR，故③正確；
由③得，△PQC是等邊三角形，
∴△PQS≌△PCS，
又由②可知，④△BRP≌△QSP，故④也正確，
∵①②③④都正確，
故選D．

點評 本題考查了角平分線的性質(zhì)與全等三角形的判定與性質(zhì)，準(zhǔn)確識圖并熟練掌握全等三角形的判定方法與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．