Question

11．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在x軸的正半軸上，點(diǎn)B在y軸的正半軸上，且線段OA、OB（OA＜OB）的長(zhǎng)是方程x²-9x+18=0的兩根，將
△AOB沿直線AB翻折，點(diǎn)O落在坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)C處，延長(zhǎng)BC交x軸于點(diǎn)D，
（1）求OA、OB的長(zhǎng)；
（2）求直線BD的解析式；
（3）點(diǎn)M在直線AC上，在X軸上是否存在點(diǎn)N，使以M、B、N、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）由因式分解法求出方程的解，即可得出OA、OB的長(zhǎng)；
（2）先證明△ACD∽△BOD，得出比例式，求出BD=2AD，設(shè)AD=x，則BD=2x，CD=2x-6，由勾股定理得出方程，解方程求出AD，得出OD，即可得出點(diǎn)D的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求出直線BD的解析式；
（3）分三種情況：①當(dāng)BD為對(duì)角線時(shí)，由題意得直線BM的解析式為：y=6，再用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，求出M的坐標(biāo)，即可得出N₁ 的坐標(biāo)；
②當(dāng)BD與BM為鄰邊時(shí)，容易得出ON₂=15.5，即可得出N₂ 的坐標(biāo)；
③當(dāng)BD與BN為鄰邊時(shí)，由平行線得出△ACD∽△AM₁ N₃，得出比例式$\frac{AD}{A{N}_{3}}=\frac{CD}{{M}_{1}{N}_{3}}$，求出AN₃=12.5，得出ON₃，即可得出N₃ 的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵x²-9x+18=0，
∴（x-3）（x-6）=0，
∴x₁=3，x₂=6，
∴OB＞OA，
∴OB=6，OA=3；
（2）根據(jù)題意得：AC=OA=3，
∵AC⊥BD，
∴∠ACD=90°，
又∵∠BOA=90°，∠ODB=∠ADC，
∴△ACD∽△BOD，
∴$\frac{AD}{BD}=\frac{AC}{OB}$=$\frac{3}{6}$=$\frac{1}{2}$，
∴BD=2AD，
設(shè)AD=x，則BD=2x，CD=2x-6，
根據(jù)勾股定理得：AC²+CD²=AD²，
即3²+（2x-6）²=x²，
解得：x=5，或x=3（不合題意，舍去），
∴AD=5，
∴OD=8，BD=10，CD=4，
∴D（8，0），
設(shè)直線BD的解析式為y=kx+b，
由題意得：$\left\{\begin{array}{l}{8k+b=0}\\{b=6}\end{array}\right.$，
解得：k=-$\frac{3}{4}$，b=6，
∴直線BD的解析式為：y=-$\frac{3}{4}$x+6；
（3）存在；點(diǎn)N的坐標(biāo)為：（0.5，0），或（15.5，0），或（-9.5，0）；理由如下：
分三種情況：①當(dāng)BD為對(duì)角線時(shí)，如圖1所示：
則直線BM的解析式為：y=6，
∵AC⊥BD，
∴設(shè)直線AC的解析式為：y=$\frac{4}{3}$x+b，
把點(diǎn)A（3，0）代入得：b=-4，
∴直線AC的解析式為：y=$\frac{4}{3}$x-4，
當(dāng)y=6時(shí)，$\frac{4}{3}$x-4=6，
解得：x=7.5，
∴M（7.5，6），
∴BM=7.5，
∴ON₁=8-7.5=0.5，
∴N₁（0.5，0）；
②當(dāng)BD與BM為鄰邊時(shí)，如圖2所示：
則ON₂=8+7.5=15.5，
∴N₂（15.5，0）；
③當(dāng)BD與BN為鄰邊時(shí)，如圖3所示：
∵BD∥MN，M₁ N₃=BD=10，
∴△ACD∽△AM₁ N₃，
∴$\frac{AD}{A{N}_{3}}=\frac{CD}{{M}_{1}{N}_{3}}$，
即$\frac{5}{A{N}_{3}}=\frac{4}{10}$，
∴AN₃=12.5，
∴ON₃=12.5-3=9.5，
∴N₃（-9.5，0）；
綜上所述：存在點(diǎn)N，使以M、B、N、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，
點(diǎn)N的坐標(biāo)為：（0.5，0），或（15.5，0），或（-9.5，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題是一次函數(shù)綜合題目，考查了一元二次方程的解法、用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)；本題難度較大，綜合性強(qiáng)，特別是（3）中，需要進(jìn)行分類討論，通過求一次函數(shù)的解析式和證明三角形相似才能得出結(jié)果．