Question

14．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，∠BAC=45°，AC在y軸上，∠DAE=35°，AE，AB，AD分別交x軸于點F、G、H．在∠DAE旋轉(zhuǎn)過程中，設(shè)AE交x軸于F，∠AGH的平分線與∠AHF的平分線交于點M，∠COF的平分線與∠OFE的平分線交于點N．下列兩個結(jié)論：①∠N+∠M為定值；②∠N-∠M為定值．其中有且僅有一個是正確的，請你選出正確的結(jié)論，并求出其值．

Answer 1

分析 根據(jù)角平分線的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和，可證當(dāng)改變α的大小時，∠N+∠M的值不會改變．

解答 解：①∠N+∠M為定值；
設(shè)∠HAC=α，∠GAO=∠AGO=45°，
∴∠FHA=∠HAG+∠AGH=90°+α．
∵HM平分∠AHF，
∴∠FHM=$\frac{1}{2}$∠FHA=45°+$\frac{1}{2}$α．
∵GM平分∠AGH，
∴∠HGM=$\frac{1}{2}$∠AGO=22.5°．
∵∠FHM=∠HMG+∠MGH，
∴45°+$\frac{1}{2}$α=∠M+22.5°，
∴∠M=22.5°+$\frac{1}{2}$α．
又∵FN平分∠EFO，
∴∠NFO=$\frac{1}{2}$∠EFO=$\frac{1}{2}$（∠FOA+∠FAO）=$\frac{1}{2}$（90°+35°+α）=62.5°+$\frac{1}{2}$α，
∴∠N=180°-∠NFO-∠NOF
=180°-（62.5°+$\frac{1}{2}$α）-45°
=72.5°-$\frac{1}{2}$α．
∴∠N+∠M=（72.5°-$\frac{1}{2}$α）+（22.5°+$\frac{1}{2}$α）=95°．

點評 本題主要考查三角形的內(nèi)角和、坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、三角形的面積；難點在于看懂已知的圖形，根據(jù)已知條件，充分挖掘隱含的條件．此類題學(xué)生丟分率較高，需注意．