Question

13．邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD的兩頂點(diǎn)A、C分別在正方形EFGH的兩邊DE、DG上（如圖1），現(xiàn)將正方形ABCD繞D點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)A點(diǎn)第一次落在DF上時(shí)停止旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，AB邊交DF于點(diǎn)M，BC邊交DG于點(diǎn)N．
（1）求邊DA在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中所掃過(guò)的面積；
（2）旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)MN和AC平行時(shí)（如圖2），求正方形ABCD旋轉(zhuǎn)的度數(shù)；
（3）如圖3，設(shè)△MBN的周長(zhǎng)為p，在旋轉(zhuǎn)正方形ABCD的過(guò)程中，p值是否有變化？請(qǐng)證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)DA所掃過(guò)的區(qū)域?yàn)樯刃芜M(jìn)行計(jì)算即可；
（2）先根據(jù)平行線及正方形的性質(zhì)得出BMN=∠BAC=45°，∠BNM=∠BCA=45°，故可得出BM=BN，根據(jù)SAS判定△DAM≌△DCN，可得出∠ADM=∠CDN，由此可得到旋轉(zhuǎn)的度數(shù)；
（3）延長(zhǎng)BA交DE于H點(diǎn)，由ASA判定△DAH≌△DCN，得出DH=DN，AH=CN，再由SAS判定△DMH≌△DMN，可得出MN=MH=AM+AH，MN=AM+CN，將△MBN的周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為AB+BC即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵∠ADB=45°，AD=2，
∴邊DA在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中所掃過(guò)的面積=$\frac{45×π×{2}^{2}}{360}$=$\frac{π}{2}$；

（2））∵M(jìn)N∥AC，
∴∠BMN=∠BAC=45°，∠BNM=∠BCA=45°．
∴∠BMN=∠BNM，
∴BM=BN．
又∵BA=BC，
∴AM=CN．
在△DAM與△DCN中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}\\{∠DAM=∠DCN}\\{AM=CN}\end{array}\right.$，
∴△DAM≌△DCN（SAS），
∴∠ADM=∠CDN，
∴∠CDN=$\frac{1}{2}$（90°-45°）=22.5°，
即正方形ABCD旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為22.5°；

（3）不變化．
證明：如圖，延長(zhǎng)BA交DE于H點(diǎn)，
∵∠ADE+∠ADN=90°，∠CDN+∠ADN=90°，
∴∠ADE=∠CDN．
在△DAH與△DCN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADH=∠CDN}\\{AD=CD}\\{∠DAH=∠DCN}\end{array}\right.$，
∴△DAH≌△DCN（ASA），
∴DH=DN，AH=CN．
在△DMH與△DMN中，
$\left\{\begin{array}{l}{DH=DN}\\{∠MDE=∠MDN}\\{DM=DM}\end{array}\right.$，
∴△DMH≌△DMN（SAS），
∴MN=MH=AM+AH，
∴MN=AM+CN，
∴p=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=4，
∴在旋轉(zhuǎn)正方形ABCD的過(guò)程中，p值無(wú)變化．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正方形的性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，需要綜合運(yùn)用扇形的面積公式和全等三角形的判定與性質(zhì)，難度較大．熟知圖形在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中其大小、形狀不變是解題的關(guān)鍵．