Question

如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，以點D為圓心、DC為半徑作，點E在AB上，且與A、B兩點均不重合，點M在AD上，且ME=MD，過點E作EF⊥ME，交BC于點F，連接DE、MF．
（1）求證：EF是所在⊙D的切線；
（2）當MA=時，求MF的長；
（3）試探究：△MFE能否是等腰直角三角形？若是，請直接寫出MF的長度；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）過點D作DG⊥EF于G，根據(jù)等邊對等角可得∠MDE=∠MED，然后根據(jù)等角的余角相等求出∠AED=∠GED，再利用“角角邊”證明△ADE和△GDE全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得AD=GD，再根據(jù)切線的定義即可得證；
（2）求出ME=MD=，然后利用勾股定理列式求出AE，再求出BE，根據(jù)同角的余角相等求出∠1=∠3，然后求出△AME和△BEF相似，根據(jù)相似三角形對應邊成比例列式求出EF，再利用勾股定理列式計算即可得解；
（3）假設△MFE能是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質可得ME=EF，先利用“角角邊”證明△AME和△BEF全等，根據(jù)全等三角形對邊角相等可得AM=BE，設AM=BE=x，然后表示出MD，AE，再根據(jù)ME=MD，從而得到ME=AE，根據(jù)直角三角形斜邊大于直角邊可知△MEF不可能是等腰直角三角形．
解答：（1）證明：過點D作DG⊥EF于G，
∵ME=MD，
∴∠MDE=∠MED，
∵EF⊥ME，
∴∠DME+∠GED=90°，
∵∠DAB=90°，
∴∠MDE+∠AED=90°，
∴∠AED=∠GED，
∵在△ADE和△GDE中，
，
∴△ADE≌△GDE（AAS），
∴AD=GD，
∵的半徑為DC，即AD的長度，
∴EF是所在⊙D的切線；

（2）MA=時，ME=MD=2-=，
在Rt△AME中，AE===1，
∴BE=AB-AE=2-1=1，
∵EF⊥ME，
∴∠1+∠2=180°-90°=90°，
∵∠B=90°，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
又∵∠DAB=∠B=90°，
∴△AME∽△BEF，
∴=，
即=，
解得EF=，
在Rt△MEF中，MF===；

（3）假設△MFE能是等腰直角三角形，
則ME=EF，
∵在△AME和△BEF中，
，
∴△AME≌△BEF（AAS），
∴MA=BE，
設AM=BE=x，
則MD=AD-MA=2-x，AE=AB-BE=2-x，
∵ME=MD，
∴ME=2-x，
∴ME=AE，
∵ME、AE分別是Rt△AME的斜邊與直角邊，
∴ME≠AE，
∴假設不成立，
故△MFE不能是等腰直角三角形．
點評：本題考查了圓的綜合題型，主要考查了圓的切線的判定，全等三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，勾股定理的應用，綜合性較強，難度較大，（3）證明得到直角三角形的斜邊與直角邊相等的矛盾是解題的關鍵．