Question

如圖1，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）過O（0，0），A（8，0），B（2，2

3

）三點，弧AB與OA交于C，弧AB所在的圓的圓心點E，點P是弧AB上一動點．
（1）求這條拋物線的解析式；
（2）若OC=OB，試問點E是否在這條拋物線上？請說明理由；
（3）在（2）的條件下，是否存在這樣的位置P和x軸上的一點M，使得△APB與△AMP相似？若存在請求出點M的坐標，若不存在說明理由．

Answer 1

考點：二次函數綜合題

專題：

分析：（1）拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）過O（0，0），A（8，0），B（2，2

3

）三點，根據待定系數法可求這條拋物線的解析式；
（2）根據中垂線的性質可求點E的坐標為(6，2

3

)，再代入拋物線解析式進行計算即可求解；
（3）存在，△PBA的三個角分別為15°，45°，120°，由E（6，2

3

）．分四種情況：�。�點P是弧BC的中點；ⅱ．連結EP；ⅲ．P（6，-4+2

3

），B（2，2

3

）；ⅳ．∠PM₄A=120°；進行討論即可求解．

解答：解：（1）把O（0，0），代入拋物線解析式y(tǒng)=ax²+bx+c中，得c=0                 
把A（8，0），B（2，2

3

），分別代入拋物線解析式y(tǒng)=ax²+bx中，得

64a+8b=0 4a+2b= 3

解得

a=- 3 6 b= 4 3 3

．                                                  
所以這條拋物線解析式y(tǒng)=-

3

6

x2+

4

3

3

x；
（2）∵OC=OB，
∴點C（4.0）
AC的中垂線x=6  
BC的中垂線y=

3

3

x
則點E的坐標為(6，2

3

)，
當x=6時，y=-

3

6

×6²+

4

3

3

×6=2

3

則點E在拋物線上．                                                
（3）存在，△PBA的三個角分別為15°，45°，120°                
由E（6，2

3

）．
ⅰ．點P是弧BC的中點，
AM₁=AB，
則△APB∽△APM₁
AB=8×

3

2

=4

3

OM₁=8-4

3

，
∴M₁（8-4

3

，0）
ⅱ．連結EP，
∠PEA=90°，
AP=4

2

AM

AP

=

AP

AB

?AM=

(4 2 )2

4 3

=

8

3 3

OM₂=8-

8 3

3

，
∴M₂（8-

8 3

3

，0）
ⅲ．P（6，-4+2

3

），B（2，2

3

）
∠PM₃A=45°
OM₃=6-（4-2

3

）=2+2

3

，
∴M₃（2+2

3

，0）
ⅳ．∠PM₄A=120°
OM₄=

3

3

（4-2

3

）+6-=4+

4 3

3

，
∴M₄（4+

4 3

3

，0）
綜上，M₁（8-4

3

，0），M₂（8-

8 3

3

，0），M₃（2+2

3

，0），M₄（4+

4 3

3

，0）．

點評：考查了二次函數綜合題，涉及的知識點有：待定系數法求拋物線的解析式，中垂線的性質，相似三角形的判定和性質，分類思想的應用，綜合性較強，有一定的難度．