Question

已知開口向下的拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于M，N兩點（點N在點M的右側），并且M和N兩點的橫坐標分別是方程x²-2x-3=0的兩根，點K是拋物線與y軸的交點，∠MKN不小于90度．
（1）求點M和N的坐標；
（2）求系數(shù)a的取值范圍；
（3）當y取得最大值時，拋物線上是否存在點P，使得S△MPN=2

3

？若存在，請求出所有滿足條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）可根據(jù)先求出方程x²-2x-3=0的兩根，然后根據(jù)M，N的左右位置來確定它們的坐標．
（2）可先用交點式設出拋物線的解析式，由于拋物線過M，N，因此可將拋物線設為y=a（x²-2x-3），求∠MKN不小于90°時a的取值范圍，那么可先求出∠MKN=90°時，a的值．當∠MKN=90°時，可根據(jù)射影定理求出OK的長，也就求出了a的值，進而可得出a的取值范圍．（要注意的是拋物線開口向下的條件，即a＜0）．
（3）當y取最大值時，那么∠NKN必為90°，可根據(jù)（2）得出的∠MKN=90°時a的值，進而可求出拋物線的解析式，然后根據(jù)三角形MKN的面積求出P點縱坐標的絕對值，再將P點的縱坐標代入拋物線的解析式中即可求出P的坐標．

解答：解：（1）由題意：x²-2x-3=0，x=3，x=-1
由于N在點M的左側，因此M，N的坐標分別是M（-1，0），N（3，0）

（2）拋物線與x軸交于M（-1，0），N（3，0）兩點，則y=a（x²-2x-3）
拋物線開口向下，則a＜0，令x=0，y=-3a＞0，K（0，-3a）．
當∠MKN=90°時，
∵∠MKN=∠MKO+∠NKO=90°，∠KON=∠NKO+∠KNO=90°
∴∠MKO=∠KNO
∵∠MOK=∠KON=90°
∴△MOK∽△KON
∴MO：KO=KO：ON，

1

-3a

=

-3a

3

∴a²=

1

3

，a=-

3

3

由于∠MKN不小于90°，因此a的取值范圍是-

3

3

≤a＜0；

（3）當y取最大值時，a=-

3

3

，因此拋物線的解析式為y=-

3

3

x²+

2 3

3

x+

3

；
設P點的坐標為（0，h），則有：
S_△MPN=

1

2

•MN•|h|=2

3

，MN=4，因此|h|=

3

，h=±

3

．
當h=

3

時，

3

=-

3

3

x²+

2 3

3

x+

3

：解得x=0或x=2．
當h=-

3

時，-

3

=-

3

3

x²+

2 3

3

x+

3

：解得x=1+

7

或1-

7

．
因此P點的坐標為（0，

3

）、（2，

3

）、（1+

7

，-

3

）、（1-

7

，-

3

）．

點評：本題主要考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關系以及二次函數(shù)的綜合應用，（2）中求出∠MKN=90°時a的取值是解題的關鍵．