Question

11．如圖，正方形OABC的面積為9，點O為坐標(biāo)原點，點B在函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k＞0，x＞0）的圖象上點P（m，n）是函數(shù)圖象上任意一點，過點P分別作x軸y軸的垂線，垂足分別為E，F(xiàn)．并設(shè)矩形OEPF和正方形OABC不重合的部分的面積為S．
（1）求k的值；
（2）當(dāng)S=$\frac{9}{2}$時，求P點的坐標(biāo)；
（3）寫出S關(guān)于m的關(guān)系式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正方形的面積求得B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求得反比例函數(shù)的解析式；
（2）分成P在B的左側(cè)和右側(cè)兩種情況進(jìn)行討論．當(dāng)P在B的左側(cè)時，重合部分是以O(shè)C為邊的矩形，根據(jù)面積公式求得P的橫坐標(biāo)，進(jìn)而代入反比例函數(shù)解析式求得縱坐標(biāo)；當(dāng)P在B的右側(cè)時，重合部分是以O(shè)A為一邊的矩形，根據(jù)面積公式求得P的縱坐標(biāo)，進(jìn)而求得橫坐標(biāo)；
（3）與（2）的解法相同，分成兩種情況進(jìn)行討論．

解答 （1）∵正方形OABC的面積為9，∴OA=OC=3，∴B（3，3），
又∵點B（3，3）在函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象上，∴k=9；
（2）分兩種情況：①當(dāng)點P在點B的左側(cè)時，
∵P（m，n）在函數(shù)y=$\frac{k}{x}$上，
∴mn=9，
∴S=m（n-3）=mn-3m=$\frac{9}{2}$，解得m=$\frac{3}{2}$，
∴n=6，∴點P的坐標(biāo)是P（$\frac{3}{2}$，6）；
②當(dāng)點P在點B的右側(cè)時，
∵P（m，n）在函數(shù)y=$\frac{k}{x}$上，
∴mn=9，
∴S=n（m-3）=mn-3n=$\frac{9}{2}$，
解得n=$\frac{3}{2}$，∴m=6，
∴點P的坐標(biāo)是P（6，$\frac{3}{2}$），
綜上所述：P（6，$\frac{3}{2}$），（$\frac{3}{2}$，6）．
（3）當(dāng)0＜m＜3時，點P在點B的左邊，此時S=9-3m，
當(dāng)m≥3時，點P在點B的右邊，此時S=9-3n=9-$\frac{27}{m}$．

點評 本題考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，以及反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義，注意到分情況討論是關(guān)鍵．