Question

【題目】拋物線與直線交于兩點(diǎn)，且兩點(diǎn)之間的拋物線上總有兩個(gè)縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)．

（1）求證：；

（2）過(guò)作軸的垂線，交直線于，，且當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，軸．

①求的值：

②對(duì)于每個(gè)給定的實(shí)數(shù)，以為直徑的圓與直線總有公共點(diǎn)，求的范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①；②．

【解析】

（1）先聯(lián)立，消去得，法一：根據(jù)題意可得出，從而有，即可得出結(jié)果；法二：設(shè)這兩個(gè)縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，，則，則，得出，從而有，即，同法一可得出結(jié)果；

（2）①設(shè)，，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得，，由，均與軸平行，得出，，由，，三點(diǎn)共線，有，得出，即可求出x1，x2，再根據(jù)軸，得出，將x1，x2代入可求出a的值；②設(shè)以為直徑的圓與直線的公共點(diǎn)為，連接AP，BP，則，過(guò)點(diǎn)A作AM垂直直線y=m于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)B作BN垂直y=m于點(diǎn)N，構(gòu)造一線三等角，可得：△AMP∽△PNB，得出，即，整理得，將x1+x2，x1x2代入，然后整理成關(guān)于的方程，由可得出，根據(jù)題意可得上述不等式對(duì)于任意的實(shí)數(shù)恒成，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)圖象開口向上，且與軸至多只有一個(gè)交點(diǎn)，據(jù)此列出關(guān)于m的不等式組，解出m即可．

（1）證明：法一：聯(lián)立，消去得，

拋物線的對(duì)稱軸為軸，則這兩個(gè)縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，

∴，∴，∴；

法二：設(shè)這兩個(gè)縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，，

則，∴．

∵，，∴，∴，∴．

∴，∴．

（2）解：①設(shè)，，

則由（1）知，是方程的兩根，

∴，，

又∵，均與軸平行，

∴，，

又∵，，三點(diǎn)共線，∴，

∴，∴，

∴，，

又∵軸，∴，

∴，即，解得或．

∵，∴．

②設(shè)以為直徑的圓與直線的公共點(diǎn)為，連接AP，BP，則，

過(guò)點(diǎn)A作AM垂直直線y=m于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)B作BN垂直y=m于點(diǎn)N，構(gòu)造一線三等角，可得：

△AMP∽△PNB，∴，∴，

∴，

又由①得，，

∴，

將上述方程整理成關(guān)于的方程：…（*），

∵方程（*）有實(shí)數(shù)根，

∴，∴，

整理得，

對(duì)于每個(gè)給定的實(shí)數(shù)，以為直徑的圓與直線總有公共點(diǎn)，即總有點(diǎn)存在，

∴上述不等式對(duì)于任意的實(shí)數(shù)恒成．

當(dāng)，即時(shí)，上述不等式為：，舍去；

當(dāng)時(shí)，欲使上述不等式恒成立，

則二次函數(shù)圖象開口向上，且與軸至多只有一個(gè)交點(diǎn)，

∴，解得：．

∴的范圍為．