Question

【題目】如圖，己知A（0，8），B（6，0），點(diǎn)M、N分別是線段AB、AO上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)M、N中有一個(gè)點(diǎn)停止時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也停止。設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒。

（1）當(dāng)t為何值時(shí)，M為AB的中點(diǎn)；

（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△AMN為直角三角形；

（3）當(dāng)t為何值時(shí)，△AMN是等腰三角形？并求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)t=秒時(shí)，M是AB的中點(diǎn)；（2）當(dāng)或時(shí)，△AMN為直角三角形；

（3）當(dāng)，， 時(shí)，△AMN為等腰三角形，此時(shí)，M點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，，.

【解析】

（1）由勾股定理求出AB的長(zhǎng)，再由中點(diǎn)的定義即可得出結(jié)論；

（2）運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，AN=t，BM=2t，AM=10-2t．然后分兩種情況討論：①當(dāng)MN⊥AO時(shí)，△ANM∽△AOB；②當(dāng)MN⊥AB時(shí)，△ANM∽△ABO；

（3）先求出M的坐標(biāo)，然后分三種情況討論：①AM=AN；②MA=MN；③NA=NM．

（1）∵A（0，8），B（6，0），∴OA=8，OB=6，∴AB=10．

∵M為AB的中點(diǎn)，∴MB=2t=5，∴t=．

答：當(dāng)t=秒時(shí)，M是AB的中點(diǎn)．

（2）運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，AN=t，BM=2t，AM=10-2t．

①當(dāng)MN⊥AO時(shí)，△ANM∽△AOB，∴，∴，∴t=．

②當(dāng)MN⊥AB時(shí)，△ANM∽△ABO，∴，∴，∴t=．

綜上：當(dāng) t=或 t=時(shí)，△AMN為直角三角形．

（3）如圖，過(guò)M作MC⊥OB于C，MD⊥OA于D．

∵AO⊥OB，∴∠MCB=∠AOB．

∵∠MBC=∠ABO，∴△MBC∽△ABO，∴，∴，∴MC=，CB=，∴OC=，∴M（，）．分三種情況討論：

①當(dāng)AM=AN時(shí)，t=102t，解得：，∴M（2，）；

②當(dāng)MA=MN時(shí)，過(guò)M作MF⊥AO，交AO于F，如圖：

則F是AN的中點(diǎn)，AF=，這時(shí)，△AFM∽△AOB，∴，∴ ，解得 ，∴M（，）；

③當(dāng)NA=NM時(shí)，過(guò)N作NG⊥AB，交AB于G，如圖，則G是AM的中點(diǎn)，AG=5t．

這時(shí)，△AGN∽△AOB，∴，∴，解得：，∴M（，）．

綜上，當(dāng) 或或時(shí)，△AMN為等腰三角形，此時(shí)，M點(diǎn)的坐標(biāo)分別是．