Question

20．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，O在斜邊AB上，半徑為4cm的圓O過點(diǎn)B，切AC于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E．
（1）求線段EC的長；
（2）求圖中陰影部分面積．

Answer 1

分析 （1）如圖1所示：連接OE、OD．由切線的性質(zhì)可知OD⊥AD，依據(jù)含30°直角三角形的性質(zhì)可求得OA的長，從而可求得AB的長，然后在三角形ABC中依據(jù)含30°直角三角形的性質(zhì)可求得BC的長，接下來，證明△OBE為等邊三角形，從而可求得BE的長，依據(jù)EC=BC-BE可求得EC的長；
（2）如圖2所示：連接OD、OE，過點(diǎn)E作EF⊥OD，垂足為F．在Rt△OEF中，先求得EF的長度，然后依據(jù)S_陰=S_梯形ECDO-S_扇形EOD求解即可．

解答 解：（1）如圖1所示：連接OE、OD．

∵AC圓O相切，D為切點(diǎn)，
∴OD⊥AD．
∵在Rt△AOD中，∠A=30°，OD=4，
∴OA=8．
∴AB=8+4=12．
∵在Rt△ABC中，∠A=30°，AB=12，
∴BC=6．
∵∠A=30°，∠C=90°，
∴∠B=60°．
又∵OB=OE，
∴△OBE為等邊三角形．
∴BE=OE=0B=4．
∴EC=BC-BE=6-4=2．
（2）如圖2所示：連接OD、OE，過點(diǎn)E作EF⊥OD，垂足為F．

∵OD⊥AC，BC⊥AC，
∴OD∥BC．
∴∠B+∠BOD=120°．
∴∠BOD=120°．
∵△OBE為等邊三角形，
∴∠BOE=60°．
∴∠EOF=60°．
在Rt△OEF中，EF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$OE=2$\sqrt{3}$．
∴S_陰=S_梯形ECDO-S_扇形EOD=$\frac{（2+4）×2\sqrt{3}}{2}$-$\frac{60π×{4}^{2}}{360}$=6$\sqrt{3}$-$\frac{8π}{3}$．

點(diǎn)評 本題主要考查的是切線的性質(zhì)、垂徑定理、等邊三角形的性質(zhì)和判定、勾股定理的應(yīng)用以及不規(guī)則圖形的面積計(jì)算方法，掌握本題的輔助線的作法是解題的關(guān)鍵．