Question

如圖，

直線y=kx+4與x、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，且tan∠BAO=

4

3

，過(guò)點(diǎn)A的拋物線交y軸于點(diǎn)C，且OA=OC，并以直線x=2為對(duì)稱(chēng)軸，點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．
（1）求直線AB與拋物線的解析式；
（2）連接OP并延長(zhǎng)到Q點(diǎn)，使得PQ=OP，過(guò)點(diǎn)Q分別作QE⊥x軸于E，QF⊥y軸于F，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，矩形OEQF的周長(zhǎng)為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系．
（3）是否存在點(diǎn)P為圓心的圓與直線AB及x軸都相切？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，試說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：壓軸題

分析：（1）先確定A，B，C的坐標(biāo)再來(lái)求解析式；
（2）過(guò)P作PM⊥x軸于M．分①當(dāng)x＜0時(shí)；②當(dāng)1＜x＜3時(shí)；③當(dāng)0＜x＜1或x＞3時(shí)；三種情況討論求解即可；
（3）由切線長(zhǎng)定理知P點(diǎn)在∠BAO的平分線上或它的外角平分線上．

解答：解：（1）B（0，4），OB=4，OA=3，OC=3，
直線解析式為：y=-

4

3

x+4，
拋物線的解析式為：y=x²-4x+3；

（2）過(guò)P作PM⊥x軸于M．

顯然PM是Rt△OQE的中位線，即OE=2OM=2|x|，QE=2PM
點(diǎn)P在拋物線x²-4x+3上，則P（x，x²-4x+3），QE=2PM=2|x²-4x+3|，
①當(dāng)x＜0時(shí)，x²-4x+3＞0，OE=-2x，y=2[-2x+2（x²-4x+3）]=4x²-20x+12；
②當(dāng)1＜x＜3時(shí)，x²-4x+3＜0，y=2[2x-2（x²-4x+3）]=-4x²+20x-12；
③當(dāng)0＜x＜1或x＞3時(shí)，x²-4x+3＞0，y=2[2x+2（x²-4x+3）]=4x²-12x+12．

（3）若⊙P與直線AB及x軸都相切，
則點(diǎn)P在∠BAO或它的外角的平分線所在的直線上．
①設(shè)∠BAO的角平分線交y軸于D，過(guò)D作DH⊥AB于H，
則DH=DO=m，BD=4-m，AH=AO=3，BH=5-3=2
在Rt△BHD中，BD²=BH²+DH²
即（4-m）²=m²+2²，
解得：m=

3

2

，即D（0，1.5）
則直線AD的解析式為：y=-

1

2

x+

3

2

，
將其與拋物線的解析式y(tǒng)=x²-4x+3聯(lián)立解得：

x1=3 y1=0

，

x2= 1 2 y2= 5 4

，
即P（

1

2

，

5

4

）；
②作∠BAO外角的平分線交y軸于G，
則AG⊥AD于A，則△DOA∽△AOG，故OG=2OA=6
即G（0，-6）直線DG解析式為：y=2x-6，
將其與拋物線的解析式y(tǒng)=x²-4x+3聯(lián)立解得：

x=3 y=0

，
綜上所述：存在點(diǎn)P（

1

2

，

5

4

），使⊙P與直線AB及x軸都相切．

點(diǎn)評(píng)：考查了二次函數(shù)綜合題，點(diǎn)在圖象上則它的坐標(biāo)滿足圖象的解析式，分類(lèi)討論的思想的應(yīng)用．