Question

如圖，矩形OABC中，A(6，0)、C(0，2)、D(0，3)，射線l過點D且與x軸平行，點P、Q分別是l和x軸的正半軸上的動點，滿足∠PQO＝60º．

(1)點B的坐標是              ，∠CAO＝          º，當點Q與點A重合時，點P的坐標

為              ；

(2)設點P的橫坐標為x，△OPQ與矩形OABC重疊部分的面積為S，試求S與x的函數關系式和相應的自變量x的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（1）（6，2）。  30。（3，3）（2）

【解析】解：（1）（6，2）。  30。（3，3）。

（2）當0≤x≤3時，

如圖1，

OI=x，IQ=PI•tan60°=3，OQ=OI+IQ=3+x；

由題意可知直線l∥BC∥OA，

可得，∴EF=（3+x），

此時重疊部分是梯形，其面積為：

當3＜x≤5時，如圖2，

當5＜x≤9時，如圖3，

當x＞9時，如圖4，

。

綜上所述，S與x的函數關系式為：

  。

（1）①由四邊形OABC是矩形，根據矩形的性質，即可求得點B的坐標：

∵四邊形OABC是矩形，∴AB=OC，OA=BC，

∵A（6，0）、C（0，2），∴點B的坐標為：（6，2）。

②由正切函數，即可求得∠CAO的度數：

∵，∴∠CAO=30°。

③由三角函數的性質，即可求得點P的坐標；如圖：當點Q與點A重合時，過點P作PE⊥OA于E，

∵∠PQO=60°，D（0，3），∴PE=3。

∴。

∴OE=OA﹣AE=6﹣3=3，∴點P的坐標為（3，3）。

（2）分別從當0≤x≤3時，當3＜x≤5時，當5＜x≤9時，當x＞9時去分析求解即可求得答案。