Question

17．如圖，四邊形ABCD中，∠BAD=90°，對角線AC與BD相交于點O，BO=DO，點E、F分別是AD、AC的中點．
（1）求證：∠ADC+∠ADO=∠EFC；
（2）如果點G是BC的中點，EG與AC相交于點H，求證：EH=GH．

Answer 1

分析 （1）由點E、F分別是AD、AC的中點，得到EF∥CD，∠ADC=∠AEF，根據(jù)直角三角形的性質得到AO=$\frac{1}{2}$BD=OD，由等腰三角形的性質得到∠ADO=∠DAO，即可得到結論；
（2）連接FG、GO、OE，根據(jù)三角形的中位線的性質得到FG∥AB，F(xiàn)G=$\frac{1}{2}$AB，OE∥AB，OE=$\frac{1}{2}$AB，等量代換得到FG∥OE，F(xiàn)G=OE，推出四邊形EFGO是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質即可得到結論．

解答 證明：（1）∵點E、F分別是AD、AC的中點，
∴EF∥CD，∠ADC=∠AEF，
∵∠BAD=90°，OB=OD，
∴AO=$\frac{1}{2}$BD=OD，
∴∠ADO=∠DAO，
∴∠ADO+∠ADC=∠AEF+∠DAO=∠EFC；

（2）連接FG、GO、OE，
∵E、F、G、O分別是AD、AC、BC、BD的中點．
∴FG∥AB，F(xiàn)G=$\frac{1}{2}$AB，OE∥AB，OE=$\frac{1}{2}$AB，
∴FG∥OE，F(xiàn)G=OE，
∴四邊形EFGO是平行四邊形，
∴EH=GH．

點評 本題考查了平行線的性質，直角三角形的性質，平行四邊形的判定和性質，三角形的中位線的性質，正確的作出輔助線是解題的關鍵．