Question

【題目】閱讀材料：若關于x的一元二次方程的根均為整數，稱該方程為“快樂方程”. 我們發(fā)現任何一個“快樂方程”的判別式一定為完全平方數. 規(guī)定為該“快樂方程”的“快樂數”. 若有另一個“快樂方程”的“快樂數”為且滿足，則稱互為“樂呵數”. 例如：“快樂方程”的兩根均為整數，其判別式，其“快樂數”

（1）“快樂方程”的“快樂數”為 ，若關于x的一元二次方程（m為整數，且5＜m＜22）是“快樂方程”，求其“快樂數”；

（2）若關于x的一元二次方程與（m、n均為整數）都是“快樂方程”，且其“快樂數”互為“樂呵數”，求n的值.

Answer 1

【答案】（1）-1 （2）0或1或4

【解析】

（1）根據“快樂數”的定義即可求出“快樂方程”的“快樂數”，

，根據“快樂方程”的定義，得到為完全平方數，根據5＜m＜22，得到49＜4m+29＜117，即可求出4m+29=64或81或100，根據m為整數，即可求出m的值，即可求其“快樂數”；

（2）關于x的一元二次方程是“快樂方程”，即可求出的值，

求出方程的“快樂數”，根據“樂呵數”的定義即可求出n的值.

解：（1）

由題得

∵已知方程為“快樂方程”

∴為完全平方數

又∵5＜m＜22 則49＜4m+29＜117

∴ 4m+29=64或81或100

∵m為整數

∴m=13

∴原方程為，其根為，，符合題意.

其“快樂數”為：

（2）由題得方程的

∵方程是“快樂方程”

∴完全平方數.

設（k為整數），則

又與同奇偶，且m、k為整數，則

span>或或或

解得：或

∴方程為或，其根均為整數，

它們的“快樂數”都為 .

由題得方程可變形為，解得，，

∵n 為整數，

∴方程為“快樂方程”，其“快樂數”為

又由題方程、的“快樂數”互為“樂呵數”，可得

（i）當時，， 解得，，

（ii）當時，， 解得，

綜上所述，n的值為0或1或4.