Question

正方形ABCD中，E是CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，G是AE上一點(diǎn)，且AG=AD，AF⊥AE，交GD于F，GD交AB于H，求證：AF+BE=AE．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),正方形的性質(zhì)

專題：

分析：首先在BC上截取BM=AE，然后證得△AGF≌△BAM，由全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等、同角的余角相等，即可求得∠EAM=∠AMB，繼而證得AF+BE=AE．

解答：證明：在BC上截取BM=AF，連接AM，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠ABM=90°，
∵AG=AD，AB=AD，
∴AG=AB，
∵AE⊥AF，
∴∠FAG=∠ABM=90°，
在△AGF和△BAM中，
∵

AG=AB ∠GAF=∠ABM AF=BM

∴△AGF≌△BAM，
∴∠AMB=∠AFG，∠BAM=∠AGF，
∵AG=AD，
∴∠AGD=∠ADG，
∴∠BAM=∠ADG，
∵∠BAD=90°，
∴∠FAB+∠BAE=∠BAF+∠FAD=90°，
∴∠EAB=∠FAD，
∴∠AFG=∠FAD+∠ADG=∠EAB+∠BAM=∠EAM，
∴∠EAM=∠AMB，
∴AE=EM=BE+BM=BE+AF．
即AF+BE=AE．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正方形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)．此題綜合性較強(qiáng)，難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．