Question

如圖，圓O是以AB為直徑的△ABC的外接圓，D是劣弧

BC

的中點，連AD并延長與過C點的切線交于點P，OD與BC相交于E；
（1）求證：OE=

1

2

AC；
（2）求證：

DP

AP

=

BD2

AC2

；
（3）當AC=6，AB=10時，求切線PC的長．

Answer 1

分析：（1）由于D是弧BC的中點，利用垂徑定理的推論，可證OD⊥BC，而AC⊥BC，故OD∥AC，又O是AB中點，利用平行線分線段成比例定理的推論，可得BE：CE=OB：OA，從而可知E是BC中點，即OE是△ABC的中位線，利用三角形中位線定理可證OE=

1

2

AC；
（2）利用兩組角對應相等，易證△PCD∽△PAC，那么可得2組有關比例線段，利用等式性質可證；
（3）由AC=6，AB=10，利用勾股定理可求BC，進而求出BE、OE、DE，再利用勾股定理可求BD²、AD²，從而解出AD、BD、CD，結合（2）中的結論，利用比例性質，可求出DP、AP，那么可求CP²，從而求出CP．

解答：（1）證明：∵AB為直徑
∴∠ACB=90°
∴AC⊥BC
又D為

BC

中點，
∴OD⊥BC，OD∥AC，
又O為AB中點，
∴OE=

1

2

AC；（4分）

（2）證明：連接CD，PC為切線，
由∠PCD=∠CAP，∠P為公共角，
∴△PCD∽△PAC，（6分）
∴

PC

PA

=

CD

AC

，

PD

PC

=

CD

AC

，
又CD=BD，
∴

DP

AP

=

BD2

AC2

；（8分）

（3）解：∵AC=6，AB=10，
∴BC=8，BE=4，OE=3，
∴DE=2，
∴BD²=DE²+BE²=20，（9分）
∴AD²=AB²-BD²=80，
∴AD=4

5

，（10分）
CD=BD=2

5

，
由（2）

DP

DP+4 5

=

5

9

，

DP

4 5

=

5

4

，
∴DP=5

5

，AP=9

5

，（11分）
∴CP²=DP•AP=45×5，
∴切線PC=15．（12分）

點評：本題利用了垂徑定理的推論、平行線分線段成比例定理的推論、三角形中位線定理、相似三角形的判定和性質、等式的性質、勾股定理、比例的性質、切割線定理等知識．