Question

已知在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，P、Q分別為邊AB、AC上一點，PQ∥BC，M為斜邊BC上的一點，若△MPQ為等腰直角三角形，則PQ的長度為

 

．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質,等腰直角三角形

專題：

分析：作ME⊥AC，MF⊥AB，易證△QME≌△PMF，即可求得AE的長，再根據PQ∥BC，可以求得AQ和AP的長，根據勾股定理即可求得PQ的長．

解答：解：作ME⊥AC，MF⊥AB，

∵∠QME+∠EMP=90°，∠EMP+∠PMF=90°，
∴∠QME=∠PMF，
在△QME和△PMF中，

∠QEM=∠PFM ∠QME=∠PMF QM=PM

，
∴△QME≌△PMF（AAS），
∴EM=FM，即AE=AF，
設AE=x，則

CE

AC

=

EM

AB

，即

3-x

3

=

x

4

，
解得：x=

12

7

，
∵PQ∥BC，∴

AQ

AC

=

AP

AB

，整理得：

AQ

AP

=

4

3

，
∴

AE+EQ

AF-AP

=

4

3

，
解得：EQ=

12

49

，
∴AQ=AE+EQ=

96

49

，AP=AF-PF=

72

49

，
∴PQ=

AQ2+AP2

=

120

49

．
故答案為

120

49

．

點評：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應邊相等的性質，考查了勾股定理的運用，本題中求證△QME≌△PMF是解題的關鍵．