Question

如圖，拋物線y=-x²+2x+3與x軸交于A，B兩點(diǎn)，它的對稱軸與x軸交于點(diǎn)N，過頂點(diǎn)M作ME⊥y軸于點(diǎn)E，連結(jié)BE交MN于點(diǎn)F．
（1）求F的坐標(biāo)．
（2）求△EMF與△BNF的面積之和．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征,待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式,三角形的面積

專題：計算題

分析：（1）先把解析式配成頂點(diǎn)式得到頂點(diǎn)M的坐標(biāo)是（1，4），對稱軸是直線x=1，則點(diǎn)E的坐標(biāo)是（0，4），再求出B（3，0），然后利用待定系數(shù)法求出直線BE的解析式為y=-

4

3

x+4，再計算x=1時所對應(yīng)的一次函數(shù)值即可確定F點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）先計算出EM=1，MF=4-

8

3

=

4

3

，F(xiàn)N=

8

3

，BN=3-1=2，然后根據(jù)三角形面積公式求解．

解答：解：（1）∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴頂點(diǎn)M的坐標(biāo)是（1，4），對稱軸是直線x=1，
∵M(jìn)E⊥y軸，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)是（0，4），
解方程-x²+2x+3=0得x₁=-1，x₂=3，
∴A（-1，0），B（3，0），
設(shè)直線BE的解析式為y=kx+b，
把B（3，0），E（0，4）代入得

3k+b=0 b=4

，解得

k=- 4 3 b=4

，
∴直線BE的解析式為y=-

4

3

x+4，
∵當(dāng)x=1時，y=-

4

3

x+4=

8

3

，
∴所以F的坐標(biāo)是（1，

8

3

）；
（2）由（1）可得EM=1，MF=4-

8

3

=

4

3

，F(xiàn)N=

8

3

，BN=3-1=2，
S_△EFM+S_△BNF=

1

2

•1•

4

3

+

1

2

•2•

8

3

=

10

3

．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征：二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足其解析式．也考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式．