Question

8．已知，在平面直角坐標(biāo)系中，A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，m）（m＞0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），以A點(diǎn)為圓心OA為半徑作⊙A，將△AOB繞B點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角（0°＜α＜360°）至△A′O′B處．

（1）如圖1，m=4，α=90°，求O′點(diǎn)的坐標(biāo)及AB掃過的面積；
（2）如圖2，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到A、O′、A′三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，求證：O′B是⊙O的切線；
（3）如圖3，m=2，在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)直線BO′與⊙A相交時(shí)，直接寫出α的范圍．

Answer 1

分析 （1）先判斷出旋轉(zhuǎn)后O'B⊥x軸，從而得出點(diǎn)O'的坐標(biāo)，進(jìn)而判斷出是AB掃過的面積是以AB為半徑，圓心角為90°的扇形的面積，
（2）先判斷出△AO'B≌△A'O'B．即可得出AO'=A'O'，進(jìn)而得出AO'=OA即可得出結(jié)論；
（3）找出BO'與⊙A相切時(shí)旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)即可確定出范圍．

解答 解：當(dāng)α=90°時(shí)，O'B⊥x軸，
由旋轉(zhuǎn)知，O'B=OB=2，
∴O'（2，2），
在Rt△AOB中，OB=2，OA=m=4，
∴AB=2$\sqrt{5}$
由旋轉(zhuǎn)知，BA繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)90°到BA'，
∴AB掃過的面積=$\frac{90•π•（2\sqrt{5）^{2}}}{360}$=5π；
（2）由旋轉(zhuǎn)知，AB=A'B，
∴∠BAA'=∠BA'A，
∵A、O′、A′三點(diǎn)在同一直線上，
∴∠AO'B=∠A'O'B=90°，
在△AO'B和△A'O'B中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AO'B=∠A'O'B=90°}\\{∠BAA'=∠BA'A}\\{AB=A'B}\end{array}\right.$，
∴△AO'B≌△A'O'B．AO'=A'O'，
由旋轉(zhuǎn)知，A'O'=AO，
∴AO′=AO，
∴O′B是⊙O的切線；
（3）∵m=2，
∴A（0，2），
∵B（0，2），
∴OA=OB=2，
當(dāng)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，BO'與⊙A相切時(shí)，四邊形AOBO'剛好是正方形，
∴0°＜α＜90°，BO'與⊙A相交，
同理：180°＜α＜270°時(shí)，BO'與⊙A相交，
即：當(dāng)直線BO′與⊙A相交時(shí)，α的范圍為：0°＜α＜90°或180°＜α＜270°．

點(diǎn)評(píng) 此題是圓的綜合題，主要考查了扇形的面積公式，全等三角形的判定和性質(zhì)，切線的判定，勾股定理，解本題的關(guān)鍵判斷出，△AO'B≌△A'O'B，是一道中等難度的中考�？碱}．