Question

如圖，在⊙O中，弦AB∥弦CD，且分居在點O的兩側．已知AB=11，CD=21，⊙O的半徑R=

65

6

．求：

（1）AB與CD之間的距離．
（2）若⊙I₁、⊙I₂分別為△ACD、△ABC的內切圓，求⊙I₁、⊙I₂的半徑之比．

Answer 1

考點：三角形的內切圓與內心,勾股定理,垂徑定理

專題：

分析：（1）分別作弦AB、CD的弦心距，設垂足為E、F；由于AB∥CD，則E、O、F三點共線，EF即為AB、CD間的距離；由垂徑定理，易求得AE、DF的長，連接OA、OD，在構建的直角三角形中，根據勾股定理即可求出OE、OF的長，也就求出了EF的長，即弦AB、CD間的距離；
（2）先證明四邊形ABCD是等腰梯形，作等腰梯形ABCD的高AE，BF，運用勾股定理求出AD=13，AC=20，運用梯形的面積公式得出S_梯形ABCD=192，則S_△ADC=126，S_△ABC=66，然后由面積法分別求出⊙I₁的半徑r₁=

14

3

，⊙I₂的半徑r₂=3，則⊙I₁與⊙I₂的半徑之比可求．

解答：解：（1）如圖1，過O作OE⊥AB于點E，OF⊥CD于點F，連接OA，OD．
∵AB∥CD，∴E，O，F三點共線，
∴EF即為所求的AB，CD的距離
∴AE=

1

2

AB=

11

2

，DF=

1

2

CD=

21

2

，
在Rt△OAE中，∵OB=

65

6

，AE=

11

2

，∴OE=

28

3

．
在Rt△ODF中，∵OD=

65

6

，DF=

21

2

，∴OF=

8

3

，
∴EF=OE+OF=

28

3

+

8

3

=12，
答：AB和CD的距離為12；

（2）∵AB∥CD，AB≠CD，
∴四邊形ABCD是梯形，
∵在⊙O中，弦AB∥弦CD，
∴

AD

=

BC

，
∴AD=BC，
∴梯形ABCD是等腰梯形．
如圖2，作等腰梯形ABCD的高AE，BF，則四邊形ABFE是矩形，FE=AB=11，DE=CF=

CD-AB

2

=5．
在△ADE中，∵∠AED=90°，
∴AD=

DE2+AE2

=

52+122

=13，
在△ACE中，∵∠AEC=90°，
∴AC=

EC2+AE2

=

162+122

=20．
S_梯形ABCD=

1

2

（AB+CD）•EF=

1

2

（11+21）×12=192，
∵S_△ADC+S_△ABC=192，S_△ADC：S_△ABC=21：11，
∴S_△ADC=126，S_△ABC=66．
如圖3，連接I₁A、I₁D、I₁C，設△ACD的內切圓半徑為r₁，
∵S_△ADC=S_△AI1D+S_△DI1C+S_△AI1C=

1

2

AD•r₁+

1

2

CD•r₁+

1

2

CA•r₁，
∴

1

2

（13+21+20）r₁=126，
∴r₁=

14

3

，
同理，求出⊙I₂的半徑r₂=3，
∴⊙I₁與⊙I₂的半徑之比是

14

3

：3=

14

9

．

點評：本題考查了等腰梯形的判定與性質，垂徑定理，勾股定理，三角形的內切圓，三角形、梯形的面積，綜合性較強，有一定難度．