Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，正方形ABCD的位置如右圖所示，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，2），延長(zhǎng)CB交x軸于點(diǎn)A₁，作正方形A₁B₁C₁C，延長(zhǎng)C₁B₁交x軸于點(diǎn)A₂，作正方形A₂B₂C₂C₁，…按這樣的規(guī)律進(jìn)行下去，第1個(gè)正方形的面積為

 

；第n個(gè)正方形的面積為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),正方形的性質(zhì)

專題：規(guī)律型

分析：根據(jù)相似三角形的判定原理，得出△AA₁B∽△A₁A₂B₁，繼而得知∠BAA₁=∠B₁A₁A₂；利用勾股定理計(jì)算出正方形的邊長(zhǎng)；最后利用正方形的面積公式計(jì)算第一個(gè)正方形的面積，從中找出規(guī)律，進(jìn)而可求出第n個(gè)正方形的面積．

解答：解：設(shè)正方形的面積分別為S₁，S₂…，S_n，
根據(jù)題意，得：AD∥BC∥C₁A₂∥C₂B₂，
∴∠BAA₁=∠B₁A₁A₂=∠B₂A₂x（同位角相等）．
∵∠ABA₁=∠A₁B₁A₂=∠A₂B₂x=90°，
∴△BAA₁∽△B₁A₁A₂，
在直角△ADO中，根據(jù)勾股定理，得：AD=

5

，tan∠ADO=

OA

OD

=

1

2

，
∵tan∠BAA₁=

BA1

AB

=tan∠ADO，
∴BA₁=

1

2

AB=

5

2

，
∴CA₁=

5

+

5

2

，
同理，得：C₁A₂=（

5

+

5

2

）×（1+

1

2

），
由正方形的面積公式，得：S₁=（

5

）²=5，
S₂=（

5

）²×（1+

1

2

）²，
S₃=（

5

）²×（1+

1

2

）⁴=5×（

3

2

）⁴，
由此，可得S_n=（

5

）²×（1+

1

2

）^2（n-1）=5×（

3

2

）^2n-2．
故答案為：5；5×（

3

2

）^2n-2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是根據(jù)計(jì)算的結(jié)果得出規(guī)律，題目比較好，但是一道比較容易出錯(cuò)的題目．