Question

如圖，六邊形ABCDEF內(nèi)接于半徑為r（r為常數(shù)）的⊙O，其中AD為直徑，且AB=CD=DE=FA。

（1）當(dāng)∠BAD=75°時，求的長；
（2）求證：BC∥AD∥FE；
（3）設(shè)AB=x，求六邊形ABCDEF的周長L關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并指出x為何值時，L取得最大值。

Answer 1

（1）解：連結(jié)OB、OC，由∠BAD=75°，OA=OB知∠AOB=30°，
∵AB=CD，
∴∠COD=∠AOB=30°，∴∠BOC=120°，
故的長為。
（2）證明：連結(jié)BD，
∵AB=CD，
∴∠ADB=∠CBD，
∴BC∥AD，
同理EF∥AD，
從而BC∥AD∥FE。
（3）過點B作BM⊥AD于M，由（2）知四邊形ABCD為等腰梯形，
從而BC=AD-2AM=2r-2AM，
∵AD為直徑，
∴∠ABD=90°，
易得△BAM∽△DAB，
∴AM==，
∴BC=2r-，同理EF=2r-，
∴，其中0＜x＜r，
∴當(dāng)x=r時，L取得最大值6r。