Question

8．（1）如圖（1），在△ABC，AB=AC，O為△ABC內(nèi)一點，且OB=OC，求證：直線AO垂直平分BC．以下是小明的證題思路，請補全框圖中的分析過程．

（2）如圖（2），在△ABC中，AB=AC，點D、E分別在AB、AC上，且BD=CE．請你只用無刻度的直尺畫出BC邊的垂直平分線（不寫畫法，保留畫圖痕跡）．
（3）如圖（3），在五邊形ABCDE中，AB=AE，BC=DE，∠B=∠E，請你只用無刻度的直尺畫出CD邊的垂直平分線，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)定理的逆定理，只要AB=AC，OB=OC即可說明直線AO垂直平分BC；
（2）連結(jié)BE、CD相交于點O，則直線AO為BC邊的垂直平分線；
（3）連結(jié)BD、CE相交于點O，則直線AO為CD邊的垂直平分線．先證明ABC≌△AED得到AC=AD，∠ACB=∠ADE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠ACD=∠ADC，所以∠BCD=∠EDC，再證明△BCD≌△ECD，則∠BDC=∠ECD，所以O(shè)D=OC，于是根據(jù)線段垂直平分線定理的逆定理即可判斷直線AO為CD邊的垂直平分線．

解答 解：（1）
（2）如圖（2），AO為所作；
（3）如圖（3），AO為所作．
在△ABC和△AED中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AE}\\{∠B=∠E}\\{BC=ED}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△AED，
∴AC=AD，∠ACB=∠ADE，
∴∠ACD=∠ADC，
∴∠BCD=∠EDC，
在△BCD和△EDC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=ED}\\{∠BCD=∠EDC}\\{CD=DC}\end{array}\right.$，
∴△BCD≌△ECD，
∴∠BDC=∠ECD，
∴OD=OC，
∴AO垂直平分CD．

點評 本題考查了作圖-復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．解決此題得關(guān)鍵是運用線段垂直平分線定理的逆定理．