Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別交AC、BC于點M、N，在AC的延長線上取點P，使∠CBP=∠A．
（1）判斷直線BP與⊙O的位置關系，并證明你的結論；
（2）若⊙O的半徑為1，tan∠CBP=0.5，求BC和BP的長．

Answer 1

解：（1）相切．
證明：連接AN，
∵AB是直徑，
∴∠ANB=90°．
∵AB=AC，
∴∠BAN=∠A=∠CBP．
又∵∠BAN+∠ABN=180°-∠ANB=90°，
∴∠CBP+∠ABN=90°，即AB⊥BP．
∵AB是⊙O的直徑，
∴直線BP與⊙O相切；

（2）∵在Rt△ABN中，AB=2，tan∠BAN=tan∠CBP=0.5，
可求得，BN=，
∴BC=，
作CD⊥BP于D，則CD∥AB，
∴①，
在Rt△BCD中，易求得CD=，BD=，
代入①式，得
∴CP=，
∴DP==，
∴BP=BD+DP=+=．
分析：（1）由已知條件可判定直線BP與⊙O相切，連接AN，因為AB是圓的直徑，所以只有證明AB⊥BP即可；
（2）在Rt△ANB中，利用邊角關系求出BN的長，進而求出BC，作CD⊥BP于D，則CD∥AB，所以△PDC∽△PBA，利用對應邊的比值相等求出PC，再利用勾股定理求出DP，則BP=PD+BD可求出．
點評：此題考查了切線的性質和判定、相似三角形的性質以及解直角三角形等相關知識的綜合應用，難度適中．