Question

7．如圖，AB是⊙O的直徑，$\widehat{ED}$=$\widehat{BD}$，連接ED、BD，延長AE交BD的延長線于點M，過點D作⊙O的切線交AB的延長線于點C．交AM于點N，且OA=CD=$\sqrt{2}$．
（1）求證：AB=AM．
（2）求陰影部分的面積．
（3）試求出線段AN的長．

Answer 1

分析 （1）連接OD，通過證明OD∥AM，得到∠M=∠ODB，因為OD=OB，所以∠ODB=∠ABM，所以∠M=∠OBD，根據(jù)等腰三角形的判定得到AM=AB；
（2）同切線的性質(zhì)，得到OD⊥CD，從而證得△OCD為等腰直角三角形，得到∠DOC=45°，根據(jù)S_陰影=S_△OCD-S_扇OBD計算即可得解；
（3）連接AD，因為CD是⊙O的切線，根據(jù)切線長定理得，CD²=CB•CA，從而求得AC的長，在等腰Rt△ANC中，根據(jù)勾股定理可求得AN的長．

解答 解：（1）證明：如圖，連接OD，
∵$\widehat{ED}$=$\widehat{BD}$，
∴∠MAD=∠DAB，
∵OA=OD，
∴∠DAB=∠ODA，
∴∠MAD=∠DAB=∠ODA，
∵∠DOC=∠DAB+∠ODA=2∠DAB，
而∠MAB=2∠DAB，
∴∠MAB=∠DOC，
∴OD∥AM，
∴∠M=∠ODB，
∵OD=OB，
∴∠BDO=∠OBD，
∴∠M=∠OBD，
∴AB=AM，
（2）解：∵CD是⊙O切線，
∴OD⊥CD，
∵OA=CD=$\sqrt{2}$，OA=OD，
∴OD=CD=$\sqrt{2}$，
∴△OCD為等腰直角三角形，
∴∠DOC=∠C=45°，
∴S_陰影=S_△OCD-S_扇OBD=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}-\frac{45π×（\sqrt{2}）^{2}}{360}$=$1-\frac{π}{4}$
（3）解：連結(jié)AD，
∵DC是⊙O的切線，
∴DC²=CB•CA=（CA-AB）•CA，
∴（$\sqrt{2}$）²=（CA-2$\sqrt{2}$）•CA，
解，得CA=2+$\sqrt{2}$，
在Rt△ANC中，∠ANC=90°，AN=NC，
∵AN²+CN²=AC²，
∴AN=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（2+$\sqrt{2}$）=$\sqrt{2}$+1．

點評 本題考查的是切線的性質(zhì)、弦、弧之間的關(guān)系、扇形面積的計算，掌握切線的性質(zhì)定理和扇形的面積公式是解題的關(guān)鍵，注意輔助線的作法．