Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y=kx-7與y軸交于點C，與x軸交于點B，拋物線y=ax²+bx+14a經(jīng)過B、C兩點，與x軸的正半軸交于另一點A，且OA：OC=2：7．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點D為線段CB上一點，點P在對稱軸的右側(cè)拋物線上，PD=PB，當tan∠PDB=2，求P點的坐標；
（3）在（2）的條件下，點Q（7，m）在第四象限內(nèi)，點R在對稱軸的右側(cè)拋物線上，若以點P、D、Q、R為頂點的四邊形為平行四邊形，求點Q、R的坐標．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）由直線可求得C點坐標，代入拋物線可求得a的值，結(jié)合條件可求得A點坐標，代入可求得b的值，可求得拋物線解析式；
（2）可先求得B點坐標，過P作PF⊥x軸于點G，交BC于點F，作PE⊥BC，結(jié)合條件可找到PG與GF關(guān)系，再求得直線BC的解析式，設出F點的坐標，可表示出P點坐標，代入拋物線可求得P點的坐標；
（3）分DP∥QR和DR∥QP，當DP∥QR時，過P作PN∥BQ，過D作DN⊥BQ交PN于點N，過R作RM⊥BQ于點M．設PD交BQ于點T，DN交BM于點I，可求得RM=DN，MQ=PN，結(jié)合條件可求得D點坐標，設出R的坐標，可求得橫坐標，代入拋物線可求得R的坐標，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可求得Q的坐標；同理可求得當DR∥QP時的R、Q的坐標．

解答：解：（1）∵直線y=kx-7與y軸的負半軸交于點C
∴C（0，-7），
∴OC=7，
∵拋物線y=ax²+bx+14a經(jīng)過點C，
∴14a=-7，
∴a=-

1

2

，
∴y=-

1

2

x²+bx-7，
∵OA：OC=2：7．
∴OA=2，
∴A（2，0）
∵拋物線y=-

1

2

x²+bx-7經(jīng)過點A，
∴b=

9

2

∴拋物線的解析式為y=-

1

2

x²+

9

2

x-7，
（2）如圖1，

∵拋物線y=-

1

2

x²+

9

2

x-7經(jīng)過B點，
令y=0解得x=7或x=2（舍去），
∴B（7，0），
∴OB=7，
∴OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC=45°
過點P作PF⊥x軸于點G，交CB延長線于點F，則PF∥y軸，
∴∠CFG=∠OCB=45°，
∴BF=

2

GF，
過P作PE⊥BC于點E，
∵PD=PB，
∴∠PBD=∠PDB，
∴tan∠PBD=tan∠PDB=2，
∴PE=2BE，
∵EF=PE，
∴BF=BE，
∴PF=

2

PE=2

2

BE=2

2

BF=4GF，
∴PG=3GF，
∵直線y=kx-7過B點，
∴k=1，
∴y=x-7，
設F（m，m-7），則P（m，-3（m-7）），
∵點P在拋物線y=-

1

2

x²+

9

2

x-7上，
∴-3(m-7)=-

1

2

m2+

9

2

m-7，
解得m=7（舍去）或m=8，
∴P（8，-3）；
（3）如圖2，當DP∥QR時，即四邊形DQRP是平行四邊形，

∵B（7，0），Q（7，m）
∴BQ∥y軸
過P作PN∥BQ，過D作DN⊥BQ交PN于點N，
過R作RM⊥BQ于點M．
設PD交BQ于點T，DN交BM于點I，
∴∠DTB=∠DPN，∠PTQ=∠RQM，
∵∠DTB=∠PTQ，
∴∠DPN=∠RQM，
∵四邊形DPRQ是平行四邊形，
∴DP=RQ，
在△RMQ和△DNP中，

∠RQM=∠DPN ∠RMQ=∠DNP RQ=DP

，
∴△RMQ≌△DNP（AAS），
∴RM=DN，MQ=PN，
由（2）可求F（8，1），GF=1，BD=2BE=2

2

BF=2

2

∵∠QBC=45°，∴BI=DI=2，
∴D（5，-2），
設R點的橫坐標為t，
∵RM=DN，
∴t-7=8-5，
解得t=10，
∵點R在拋物線y=-

1

2

x²+

9

2

x-7 上，
∴當t=10時，-

1

2

×102+

9

2

×10-7=-12，
∴R（10，-12），
∵MQ=PN，
∴3-2=-12-n，
∴n=-11，
∴R（10，-12），Q（7，-11），
如圖3，當DR∥QP時，即四邊形DQPR是平行四邊形

同理可求得R（6，2），Q（7，-7）．

點評：本題主要考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式及全等三角形的判定和性質(zhì)、三角函數(shù)的定義、平行四邊形的性質(zhì)等知識的綜合應用．在（1）中求得A、C的坐標是解題的關(guān)鍵，在（2）中通過構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)求得PG和GF的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，在（3）中確定出Q、R的位置是解題的關(guān)鍵．本題綜合性較強、考查知識點較多、難度較大，注重了知識與能力的考查．